对于全体正整数的和，大家也许看过下面这个等式，即
这怎么可能呢？等式左边都是正数，越加越大，怎么最终会得到一个负数呢？
如果我们记前n和正整数的和为
那么显然
无论无何，全体正整数的和都不可能是-1/12。
我可以肯定地说，所谓的“全体正整数的和为－1/12”，就只是一个噱头。
正如这篇文章的标题一样.
上面的式子是怎么来的呢？
最本质的原因，是解析延拓。
解析延拓是复变函数中的概念，简单地说，就是扩充一个函数的定义域，使之能够在更大的区间上有意义。
这个扩充当然是有条件的扩充，要不然搞个分段函数随便扩充就没什么意义了。
先举个最简单的例子：对于函数
在的任意值处都等于1，而在处因为分母为零无意义。
我们可以定义一个新的函数
这样实际得到一个恒等于1的常函数。
与f(z)相比，常函数的定义域更大了，而且在的定义域上，两个函数相等。
这就是解析延拓：将函数f(z)进行了解析延拓，使之在更大的范围内有了定义。
再看一个稍微复杂的例子，对于无穷级数
容易知道，g(z)的收敛域是，在这个范围之外，g(z)发散，无定义。
接下来我们对g(z)进行解析延拓。
根据级数求和有关知识，我们知道，当时
而右边这个函数的定义域是，不仅包含了g(z)的定义域，还比g(z)的定义域大得多。记
那么函数就是对g(z)进行解析延拓后的函数。
在数学上可以证明，函数的解析延拓如果存在，那么是唯一的。
既然是唯一的，那么可以把这延拓前后的两个函数看作是同一个函数。
对于解析延拓，我想了一个通俗的解释：
不妨把函数取个名，叫”张三“，原来定义域小的函数就是刚出生的宝宝张三，解析延拓后的函数就是长大后学了高数的张三。婴儿张三只知道吃，而大学生张三不仅会吃，还会唱歌跳舞，多才多艺。
但张三，始终还是张三。
函数张三，也就是g(z)，在上的取值，形成了张三那独一无二的”胎记”。现在我们看到另一个李四函数，，在上的取值与张三完全一样，也就是说他俩具有完全一样的“胎记”。我们有理由认为，李四，就是长大后的张三。
张三和李四是同一个人。
如果我们问张三宝宝，z=2时的取值是多少啊？
张三宝宝不知道。
那问长大后的张三呢？他会飞快地告诉你
那么我们带着这个答案，回过头跟婴儿张三说，z=2时你的取值是-1。
宝宝张三顿时懵了，啥？什么玩意儿？
怎么会是-1呢？
我们神秘一笑：等你长大了，你就知道了。
现在回到原来的问题：
全体正整数的和是-1/12，这句话是怎么来的呢？
想必你已经猜到，这是解析延拓后的结果。
我们首先定义一个函数
这就是大名鼎鼎的Riemann zeta函数的宝宝期。
显然有
为什么说这是宝宝期呢？
因为显然，右侧级数求和的收敛区间是Re(z)>1，即z的实部大于1。对于z = -1<1，级数显然是发散的。原始的定义是无能为力的。
这跟上一个例子中的函数张三g(z)是不是很相似？只要我们做解析延拓，使之能够在更大的范围内有定义，就能计算z = -1处的取值了。
当然，对于这个函数，进行解析延拓就不是那么容易的了。感兴趣的可以参考黎曼的论文《论小于给定值的素数的个数》。
总而言之，我们可以对一开始的无穷级数进行解析延拓，使之在z=1以外的所有区域都有定义。
这样，进行解析延拓后的函数，就是完全体的Riemann zeta函数了。
特别地，当z = -1时，完全体的Riemann zeta函数取值为-1/12,即
延拓前后，函数可以视为一个函数。
延拓前是宝宝，延拓后就长大了。
宝宝当然不知道
但长大后，
所以为了制造噱头和装13，我们直接这么写：
而且有了解析延拓，我们可以随手写下更多充满噱头的公式
右边其实就是的值而已。
思考既然“全体正整数的和”是-1/12，那么“全体正整数的积“是多少呢？
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