等量关系是我们跟这个社会、大自然等等打交道最常遇见的关系式之一，如经商、贸易来往、等价交换、交流等，处处体现等量关系的重要性。
人类从最开始用“1”表示数量，如一个苹果、一只羊等，之后用未知量“x”进一步来表示数的概念，从而产生“方程”的意识和形成。
方程是指含有未知数的等式，更具体的来讲就是表示两个数学式之间相等关系的一种等式，能使等式成立的未知数的值称为“解”或“根”。
随着人类社会发展需要，在方程的基础就出现了函数这一概念。
方程与函数之间的关系可以说非常的密切，在解决很多数学问题过程中，我们需要把一些方程问题转换成函数问题来求解，反之亦然。在这样的相互转化过程中，要求学生不仅要具备扎实的数学基础知识和方法技巧，更要能熟练运用这些知识方法来解决问题，才能正确解决相应的数学问题。
同时，学生通过解决方程和函数相关问题，能使自己的思维能力、创新能力、探索能力等等得到很好的锻炼，帮助提高数学综合能力和素养。因此，函数与方程相关的知识内容、方法技巧等等，一直是高考数学热点方向，希望大家能认真掌握。
如ax2 bx c=0（a≠0）为一个一元二次方程，当把0改为y时，y=ax2 bx c（a≠0），就是一个二次函数。因此，我们就可以把一元二次方程看成二次函数的一种特殊情况下的方程形式。方程相应的解在高中数学里面，我们称之为零点。
那么什么是函数的零点？
对于函数y＝f(x)(x∈D)，把使f(x)＝0成立的实数x叫做函数y＝f(x)(x∈D)的零点．
因此，我们一定要处理好函数的零点与相应方程的根、函数的图象与x轴交点间的关系，如：方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点．
就像二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象与零点的关系如下表：
典型例题分析1：
m为何值时，f(x)＝x2＋2mx＋3m＋4.
(1)有且仅有一个零点；
(2)有两个零点且均比－1大．
解：(1)若函数f(x)＝x2＋2mx＋3m＋4有且仅有一个零点，
则等价于Δ＝4m2－4(3m＋4)＝0，
即m2－3m－4＝0，
解得m＝4或m＝－1.
(2)设两零点分别为x1，x2，且x1>－1，x2>－1，x1≠x2.
则x1＋x2＝－2m，x1·x2＝3m＋4，
按照初中的函数与方程思想，求零点就相当于求函数与x轴的交点，但在高中数学里有其他的解决方法，如函数零点的判定(零点存在性定理)：
如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根。
利用函数零点的存在性定理判断零点所在的区间时，首先看函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续不断，再看是否有f(a)·f(b)<0.若有，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点。
因此，要向正确判断出函数零点的个数，记住以下这些常用方法：
1、解方程法：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点；
2、零点存在性定理法：利用定理不仅要判断函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)<0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)才能确定函数有多少个零点；
3、数形结合法：转化为两个函数的图象的交点个数问题．先画出两个函数的图象，看其交点的个数，其中交点的个数，就是函数零点的个数。
典型例题分析2：
已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c.
(1)若a>b>c，且f(1)＝0，试证明f(x)必有两个零点；
(2)若对x1，x2∈R，且x1<x2，f(x1)≠f(x2)，方程f(x)＝[f(x1)＋f(x2)]/2有两个不等实根，证明必有一个实根属于(x1，x2)．
证明：(1)∵f(1)＝0，
∴a＋b＋c＝0，
又∵a>b>c，
∴a>0，c<0，即ac<0.
又∵Δ＝b2－4ac≥－4ac>0，
∴方程ax2＋bx＋c＝0有两个不等实根，
∴函数f(x)有两个零点．
值得注意的是函数的零点不是点，千万要记住。这是因为函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的实数根，也就是函数y＝f(x)的图象与x轴交点的横坐标，所以函数的零点是一个数，而不是一个点．在写函数零点时，所写的一定是一个数字，而不是一个坐标。
对函数零点存在的判断中，必须强调：
1、f(x)在[a，b]上连续；
2、f(a)·f(b)<0；
3、在(a，b)内存在零点．
这是零点存在的一个充分条件，但不必要。对于定义域内连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号。
对于在区间[a，b]上连续不断且f(a)·f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法。
已知函数有零点(方程有根)求参数取值常用的方法：
1、直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围．
2、分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决．
3、数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解。
典型例题分析3：
关于x的二次方程x2＋(m－1)x＋1＝0在区间[0,2]上有解，求实数m的取值范围．
解：设f(x)＝x2＋(m－1)x＋1，x∈[0,2]，
①若f(x)＝0在区间[0,2]上有一解，
∵f(0)＝1>0，则应有f(2)<0，
又∵f(2)＝22＋(m－1)×2＋1，
∴m<－3/2.
