很多同学碰到函数题都很茫然,各种函数傻傻分不清。有的题目要求对函数图像进行各种变换,更是让同学们摸不清头脑。小编今天就把高中数学里用到的函数都整理出来给大家,图文并茂,非常便于记忆哦!

一、基本初等函数的图像

基本的函数图像是同学们必须记清楚的,只有记清楚了基本的函数图像,才能应对各种变换要求。

跟小编一起来看看,下面这些基本的函数图像你都记清楚了没!

1一次函数

高考数学函数图像最后一题(高考数学全部函数图像及图像变换整理)(1)

性质:一次函数图像是直线。当k>0时,函数单调递增;当k<0时,函数单调递减。

2二次函数

高考数学函数图像最后一题(高考数学全部函数图像及图像变换整理)(2)

性质:二次函数图像是抛物线。a决定函数图像的开口方向,判别式b^2-4ac决定了函数图像与x轴的交点,对称轴两边函数的单调性不同。

性质:反比例函数图像是双曲线。当k>0时,图像经过一、三象限;当k<0时,图像经过二、四象限。要注意表述函数单调性时,不能说在定义域上单调,而应该说在(-∞,0),(0,∞)上单调。

4指数函数

高考数学函数图像最后一题(高考数学全部函数图像及图像变换整理)(3)

高考数学函数图像最后一题(高考数学全部函数图像及图像变换整理)(4)

当0<a<b<1<c<d时,指数函数的图像如下图

高考数学函数图像最后一题(高考数学全部函数图像及图像变换整理)(5)

不同底的指数函数图像在同一个坐标系中时,一般可以做直线 x = 1,与各函数的交点,根据交点纵坐标的大小,即可比较底数的大小。

5对数函数

高考数学函数图像最后一题(高考数学全部函数图像及图像变换整理)(6)

当底数不同时,对数函数的图像是这样变换的

高考数学函数图像最后一题(高考数学全部函数图像及图像变换整理)(7)

6幂函数

高考数学函数图像最后一题(高考数学全部函数图像及图像变换整理)(8)

性质:先看第一象限,即x>0时,当a>1时,函数越增越快;当0<a<1时,函数越增越慢;当a<0时,函数单调递减;然后当x<0时,根据函数的定义域与奇偶性判断函数图像即可。

7对勾函数

高考数学函数图像最后一题(高考数学全部函数图像及图像变换整理)(9)

对于函数y=x k/x,当k>0时,才是对勾函数,可以利用均值定理找到函数的最值。

二、函数图像的变换

1平移变换

(1)水平平移:函数 y = f(x a)的图像可以把函数 y = f(x)的图像沿x轴方向向左(a>0)或向右(a<0)平移|a|个单位即可得到;

(2)竖直平移:函数 y = f(x) a 的图像可以把函数 y = f(x)的图像沿x轴方向向上(a>0)或向下(a<0)平移|a|个单位即可得到。

2对称变换

(1)函数 y = f(-x) 的图像可以将函数 y = f(x)的图像关于y轴对称即可得到;

(2)函数 y = - f(x) 的图像可以将函数 y = f(x)的图像关于x轴对称即可得到;

(3)函数 y = - f(-x) 的图像可以将函数 y = f(x)的图像关于原点对称即可得到;

3翻折变换

(1)函数 y =| f(x)| 的图像可以将函数 y = f(x)的图像的x轴下方部分沿x轴翻折到x轴上方,去掉x轴下方部分,并保留 y = f(x)的x轴上方部分即可得到;

(2)函数 y = f(|x|) 的图像可以将函数 y = f(x)的图像的右边沿y轴翻折到y轴左边替代原y轴左边部分并保留 y = f(x)在y轴右边部分即可得到。

4伸缩变换

(1)函数 y = a f(x) (a>0)的图像可以将函数 y = f(x)的图像中的每一点横坐标不变,纵坐标伸长(a>1)或压缩(0<a<1)为原来的a倍得到;

(2)函数 y = f(ax) (a>0)的图像可以将函数 y = f(x)的图像中的每一点纵坐标不变,横坐标压缩(a>1)或伸长(0<a<1)为原来的1/a倍得到;

注意:对于函数图像的变换,有的时候,看到解析式,可能会有两种以上的变换,尤其是针对x轴上的,那么此时,一定要根据上面的规则,判断好顺序,否则顺序错了,可能就没办法经过变换得到了!

三、小试牛刀练一练

小编已经总结了基本函数的图像以及图像变换的一些步骤,下面我们就来练一练!

练一练:画出函数 y = ln|2-x|的图像

通过研究这个函数解析式,我们可以知道此函数是由基本初等函数 y = lnx通过变换而来,那么这个函数经过了几步变换呢?变换的顺序又是如何?下面我们一起来看一看!

通过解析式x上附加的东西,我们会发现,会有对称变换,x前面加了负号,还有翻折变换,x上面还有绝对值,还有平移变换,前面加了一个2,既然有3种变换,那么顺序如何呢?牢记住一点:针对x轴上的变换,那就一定要看x这个符号有啥变化。

所以,我们可以得出:第一步,翻折变换;第二步,对称变换;第三步,平移变换。

有的同学说,第一步是对称变换,也就是先在x上加负号,但是接下来的话,再进行翻折变换,就相当于在-x上加绝对值了,而这个并不是我们学过的规律,所以后面就无法进行变换了,这样也就错了。同学们一定要切记哈!

当然,如果同学们能对这四种变换很熟悉的话,那就可以先对解析式进行变形,化为 y = ln|x-2|,这样只经过两步变换即可了!

第一步:先画出函数 y = lnx的图像

高考数学函数图像最后一题(高考数学全部函数图像及图像变换整理)(10)

第二步:进行翻折变换,得到函数 y = ln|x|的图像

高考数学函数图像最后一题(高考数学全部函数图像及图像变换整理)(11)

第三步:进行对称变换,得到函数 y = ln|-x|的图像

高考数学函数图像最后一题(高考数学全部函数图像及图像变换整理)(12)

第四步:进行平移变换,得到函数 y = ln|2-x|的图像

高考数学函数图像最后一题(高考数学全部函数图像及图像变换整理)(13)

*来源:整合自网络

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