前面叙述了泰勒级数定理的直观原理,根据泰勒公式可以很容易得到Inx的泰勒级数展开式,如下In2的级数

无穷级数求和等于多少(级数揭秘:无穷大减无穷大等于多少)(1)

我们将上述级数的顺序做下调整:

无穷级数求和等于多少(级数揭秘:无穷大减无穷大等于多少)(2)

结合律得到:

无穷级数求和等于多少(级数揭秘:无穷大减无穷大等于多少)(3)

整理得到

无穷级数求和等于多少(级数揭秘:无穷大减无穷大等于多少)(4)

打乱次序最后得:

无穷级数求和等于多少(级数揭秘:无穷大减无穷大等于多少)(5)

很明显第二行级数是第一行的1/2倍所以得到一个结果:1=2

无穷级数求和等于多少(级数揭秘:无穷大减无穷大等于多少)(6)

无穷级数求和等于多少(级数揭秘:无穷大减无穷大等于多少)(7)

上述结论肯定有一个是错误,仔细检查又没有问题,问题在于级数的顺序排列

不同会导致不一样的结果,这和有限数列完全不同,所以

无穷级数求和等于多少(级数揭秘:无穷大减无穷大等于多少)(8)

我们来分析,首先在前一篇关于欧拉乘积公式的文章里有得出如下结论:两个级数都是发散的

无穷级数求和等于多少(级数揭秘:无穷大减无穷大等于多少)(9)

所以文章开头的级数就变成了:

无穷级数求和等于多少(级数揭秘:无穷大减无穷大等于多少)(10)

我们知道收敛的级数是不断的趋近于某个值,对于无穷大减无穷大的收敛级数,观察得到是从两边向中间靠拢趋近于某个值。

因为同一个收敛级数排列顺序不同会产生不一样的结果,所以可以得到任何你想要的数值:

如图级数按如下方排列,会发现接近π

无穷级数求和等于多少(级数揭秘:无穷大减无穷大等于多少)(11)

在1/151时总和偏离圆周率时,我们在添加负的项

无穷级数求和等于多少(级数揭秘:无穷大减无穷大等于多少)(12)

就这样如果偏大,添加负项,减小了增加正的项。这样就会趋近于π

无穷级数求和等于多少(级数揭秘:无穷大减无穷大等于多少)(13)

你可以用无数种排列方式来得到π,上述只是其中一种。

上述的讨论只是针对无∞-∞ 收敛的级数,而且数值是从两边向级数和靠近的形式。那对于发散级数或其他收敛级数也会存在其他可能。

1,无论你怎么排列,都不可能得到你想要的级数和

2,无论你怎么排列,都只能是一个定值。

3,无论你怎么排列,级数和的结果都不一样。

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