一、矩形

1、定义:我们把有一个角是直角的平行四边形叫做矩形

例如:长方形、正方形。

2、性质定理:(具有与普通平行四边形相同的性质 本身的特性)

矩形的对边相等。(平行四边形的定义、三角形全等)

矩形的对角相等且每个角为90°。(矩形的定义、三角形全等)

夹在两条平行线间的平行线段相等。(平行四边形的定义)

夹在两条平行线间的垂线段相等。(平行线之间的距离、平行四边形的定义)

⑤矩形的对角线互相平分且相等。(平行四边形的定义、三角形全等)

3、判定定理:

有一个角是直角是平行四边形是矩形。(矩形的定义)

有三个角是直角的四边形是矩形。(平行线的判定、三角形全等)

证明如下:(利用平行线的判定来解决)

九年级特殊平行四边形题型讲解(二十二初中数学之)(1)

因为∠A=∠B=∠C=∠D=90°,所以AD∥BC,AB∥CD,四边形ABCD为平行四边形。

再次根据已知条件,平行四边形ABCD为矩形。

对角线相等的平行四边形是矩形。(平行线的性质、三角形全等)

证明如下:(三角形全等)

上图中,平行四边形ABCD的对角线AC=BD,

因为AD∥BC,AD=BC,所以∠C ∠D=180°,

又因为,△ADC≌△BCD(证明略),所以∠C=∠D=90°,平行四边形ABCD为矩形。

二、菱形

1、定义:我们把一组邻边相等的平行四边形叫做菱形,它也是轴对称图形,对称轴为它的两条对角线。

例如:正方形(特殊的菱形)。

2、性质定理:(具有与普通平行四边形相同的性质 本身的特性)

菱形的对边相等且四条边都相等。(平行四边形的性质定理、菱形的定义、三角形全等)

菱形的对角相等。(平行四边形的性质定理、三角形全等)

夹在两条平行线间的平行线段相等。(平行四边形的定义)

夹在两条平行线间的垂线段相等。(平行线之间的距离、平行四边形的定义)

⑤菱形的对角线互相垂直且平分,每条对角线平分一组对角。(平行四边形的性质定理、三角形全等)

3、判定定理:

四条边相等的四边形是菱形。(三角形全等)

证明:只要证明由公共边是一条对角线的两个三角形全等,即可推出四边形是平行四边形,所以,四条边相等的四边形是菱形。

对角线互相垂直的平行四边形是菱形。(三角形全等)

证明:只要证明有对顶角的两个三角形全等,即可推出对角线互相平分,所以,两个有公共对角线的直角三角形的斜边相等(#勾股定理#),即可证明,对角线互相垂直的平行四边形是菱形。

三、正方形

1、定义:我们把有一组邻边相等,并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形它既是特殊的矩形,也是特殊的菱形

2、性质定理:(具有平行四边形、矩形、菱形的公共性质和单独的特性)

正方形的特性:①正方形的四个角都是直角,四条边相等。(菱形的性质定理、正方形的特性)

正方形的对角线相等且互相垂直平分,每条对角线平分一组对角。(菱形的性质定理、三角形全等、菱形的特性)

3、判定定理:

有一组邻边相等的矩形是正方形。(正方形的定义)

有一个角是直角的菱形是正方形。(正方形的定义)

对角线互相垂直的矩形是正方形。(正方形的定义的推广)

对角线相等的菱形是正方形。(正方形的定义的推广)

九年级特殊平行四边形题型讲解(二十二初中数学之)(2)

数与形总是分不开的

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