接上篇：从学龄前到中学 数学学习中实用计算能力 提升指南 学龄前篇
小学基础篇
一、学会11-20的点数，理解十进制
实际上，在认识数字、按序数数时，很多孩子就能认识1-100，也能从1数到100；在学习1-10的点数时，也可以很自然的点数到20。
但在学习11-20的点数时，最关键的是需要让孩子理解十进制。比如：
让孩子点数17根小棍，当孩子数到10根小棍时，就需要引导孩子将这10根小棍打成一捆，看作一个整体，然后再数剩下的7根小棍，转化为10以内的点数。
反过来，也可以给孩子准备一些单根的小棍和10根一捆的小棍，让孩子给你数出指定数量的小棍，让孩子进一步体会打捆的好处。比如让孩子给你13根小棍，孩子会很容易想到给你1个“十”，3个“一”。
和之前一样，这样的实物练习，可以加深孩子对十进制的理解，一定要反复练习，达到熟练。我们当然没有必要局限在20以内，扩充到所有两位数甚至三位数都是可以的，孩子会带给你惊喜的。
二、20以内的加减法，进位加、退位减
20以内的加减法，因为使用频率太高，所以最好也要形成条件反射。当然我们最好还是从实物运算开始练习，因为孩子已经有了10根一捆的思想，所以学习起来其实很容易。
当面对不涉及进位和退位的加减法时，比如11 3，17-4，孩子自然能够想到10根那一捆不动，只需要计算1 3和7-4即可。这样就转化为了10以内的加减法，而10以内的加减法对孩子来说，已经是条件反射了。
当面对进位加法时，比如9 6，我们需要引导孩子关注9根还需要几根就能凑成10根，由于孩子对凑10数已经形成了条件反射，所以一下就能反应过来是1根，那就从6根里拿出一根放到9根里凑出一捆，于是接下来我们只用关注6根里还剩了几根即可，就转化为了10以内的减法，孩子也就能快速完成了。也就是说面对9 6时孩子的实际运算为10 （6-1）。
当面对退位减法时，比如14-7，孩子会发现单独的4根不够减，说明需要拆开那一捆（破十），我们则需要引导孩子直接从拆开的10根里拿去7根，看看还剩几根。同样，由于孩子对凑10数已经形成条件反射，马上就能反应出来还剩3根，于是接下来只需要把3根和4根加起来就可以了，也就转化为了10以内的加法，孩子也就能快速完成了。也就是说面对14-7时，孩子的实际计算为3 4。
在学习进位加和退位减时，尤其需要让孩子去体验，凑出10根打成一捆和拆开一捆获得10根的过程，这样孩子将来才不容易忘记进位和退位。
另外，你会发现，孩子这时会比之前更快地脱离实物运算。因为在学习10以内加减法时，我们已经在实物运算和符号运算、语言运算之间建立了强关联，所以现在从实物运算快速过渡到符号运算和语言运算就很自然。当然，我们还是应当尽量让孩子多做一些实物运算练习，加深理解和记忆。最终，我们需让要孩子通过反复练习（此时已为符号运算和语言运算的练习），对20以内加减法的符号运算和语言运算形成条件反射。
还有一点，孩子能否快速判断是否会发生进退位呢？当然是可以的，因为按序数数（比较10以内数的大小）和凑10数对孩子来说已是条件反射。
三、100以内的加减法
需要注意的是，100以内的加减法，最好也还是让孩子进行一些实物练习，实物练习能帮助孩子更好的理解和掌握。
从一般的两位数与两位数的加减运算开始，学校课本就以竖式计算为主了。孩子一定要学好竖式计算，并熟练使用，因为它能帮助我们解决更复杂的计算问题。
但由于两位数之间的加减法，将来的使用频率非常高，所以我们有必要额外学习一下速算方法，使用口算，来提高计算速度。
我们老祖宗发明的算盘珠算是速算的极致，其核心思想有两个，一个是从高位到低位，另一个是化繁为简。我们现在当然没有必要再去系统学习珠算，但在速算中还是要遵循这样的速算思想。
其实只要我们继续带着孩子进行实物运算，用心观察一下就会发现，大部分没学过竖式的孩子都会很自然的选择从高位到低位计算。比如面对27 35时，孩子会很自然地先计算2捆和3捆，再计算7根和5根。但当孩子学完竖式之后，就会习惯从低位往高位计算。我们需要认识到，从高位到低位，更适合口算（因为读数的习惯是从高位到低位），从低位到高位，更适合笔算，二者并不矛盾。
这样的加减速算方式当然可以推广到三位数、四位数甚至更多位数，但由于更多位数的加减计算将来的使用频率并不太高，所以建议掌握好学校的竖式计算即可，不用花太多精力去练习更多位数的速算，除非很感兴趣。
四、表内乘法
表内乘法，不用讲都知道是乘除法计算的基础，需要让孩子建立条件反射。但同样的，在学校教学中，老师没有办法给孩子创造太多实物练习的机会，所以只能讲清楚算理之后，就让孩子背诵乘法口诀。背诵乘法口诀也就成了一些小朋友的噩梦，对数学学习的兴趣也开始受到影响。
因此，在孩子学习表内乘法的过程中，家长最主要的还是要带着孩子进行更多的实物练习。实物练习不仅能帮助孩子更好的理解乘法的意义，还能帮助孩子更快的记住乘法口诀。
其实，在孩子练习点数时，家长就可以刻意将小磁扣给孩子摆成每排相同个数，摆不同的排数，让孩子数。比如每排摆5个，摆不同的排数，通过反复的练习，孩子很快就会意识到只要数出排数，总数就出来了。他们会得出一排是5个，2排是10个，3排是15个……，接下来，有可能你刚摆完，孩子的答案就出来了。
这时，我们不要太着急给孩子引出乘法，应该让他更多的去享受自己的“小聪明”。我们可以改变每排的数量，继续和孩子玩这个游戏。当孩子熟练掌握这个游戏的奥秘后，我们再给他引出乘法，而此时他已经自己总结出了乘法口诀。很多时候我们都会低估孩子的能力，我之前一个同事的孩子，三岁时就已经发现了其中的奥秘。
当然，对于大部分孩子来说，都是在小学二年级的时候，才开始学习乘法。此时，孩子已经熟练掌握了100以内的加法，理解能力也更强，对实物的依赖性也在降低。但我们带着孩子进行上述实物练习，还是能让孩子更好的理解乘法口诀的意义，实际操作过程中所产生情景记忆，也能帮助孩子更好的记住乘法口诀。
五、表内除法、有余数的除法
当孩子对表内乘法建立条件反射之后，表内除法的学习就非常简单了。因为除法是乘法的逆运算，所以直接背诵乘法口诀，就可以完成表内除法。
我们还是可以带着孩子进行一些实物练习，帮助孩子更好的理解除法的意义。如：让孩子将一定数量的小磁扣分成5组，看看每组几个；或者让孩子从一定数量的小磁扣中每次拿5个，看几次可以拿完。如果是学龄前的儿童，通过反复练习，孩子也会很快发现这是乘法的逆运算，他将不再去实际操作，而是直接告诉你答案。这时我们再给孩子引出除法，他自然能理解除法的意义，也能熟练掌握表内除法。如果已经是小学生了，这样的练习，可以帮助孩子加深对除法的理解，更好的掌握表内除法。
当然，我们只需要稍微改变一下小磁扣的数量，就可以给孩子引出有余数的除法，帮助孩子理解有余数的除法的意义。
有余数的除法的计算方法，不需要额外学习。简单的带余除法，同样通过背诵乘法口诀就能完成。复杂一点的带余除法，掌握好学校讲的竖式计算的方法即可。
六、多位数乘除法
多位数乘除法，除了可以看成表内乘除法的整十整百数的乘除法，课本中都是按竖式计算进行教学。我们必须要学好竖式计算，并熟练使用。
由于不超2位数的乘法运算，将来的使用频率很高，所以我们也有必要学习一下速算方法，使用口算，提高计算速度。除法不需要额外学习速算，一是因为除法竖式本身就是从高位往低位计算，二是因为学完分数以后，除法都可以转化为乘法，而分数乘除法更关键的简算思想是“先约分，再计算”。
两位数乘一位数:
速算的核心思想，还是从高位到低位，化繁为简。
①当两位数个位数字较小时：
②当两位数个位数字较大时：
这样我们就把两位数乘一位数，转化为两次表内乘法和一次加减法。因为相比于减法，我们更擅长做加法，所以我们通常只在个位数字为7、8、9时才选则②的方法，而在其它时候都选择①的方法。当然这个并不绝对，孩子可以根据自己的喜好来选择。
两位数乘两位数：
和两位数乘一位数一样，我们只需根据较大的那个两位数的个位，将其分为两种情况来做即可。
①当较大的两位数的个位数字较小时：
②当较大的两位数的个位数字较大时：
这样我们就把两位数乘两位数，转化为两次两位数乘一位数和一次加减法。当然，像两位数乘两位数这样的速算方法，必须要通过一定的练习，才能做到口算，才能比笔算的速度更快。因此，我们一般也不要求学生掌握这样的速算方法，但如果对速算很感兴趣的同学，适当练习两位数乘法速算还是可以的。
虽然我们对一般的两位数乘两位数的速算方法，其实并不要求掌握，但对于下边这些特殊的两位数乘两位数的速算方法，同学们就应当尽量掌握，因为它们很实用。
①任意一个两位数的平方：
特别的，个位为5的平方数：
由于平方数在估算、勾股定理、平方差公式、完全平方公式等中的广泛使用，我们有必要在它们身上花更多的精力。因此，我们通常要求学生对11-20这些两位数的平方数形成条件反射。个位为5的平方数在估算中使用频率很高，所以其简算方法也要熟练掌握。
②任意一个两位数与11的乘积
计算口诀为：“两边一拉，中间相加”，注意有进位的时候需要进位。当然这个结论其实可以推广到任意多位数与11相乘，也可以更进一步推广到任意多位数与111、1111……相乘，但由于使用频率很低，无需掌握。
③“头同尾合十”、“尾同头合十”的两位数相乘
“头同尾合十”（十位数字相同，个位数字互为凑十数）：
“尾同头合十”（个位数字相同，十位数字互为凑十数）：
计算原理如下，了解即可。
④能够分解成一些特殊数的两位数的乘法
超过两位数的乘法和多位数除法，学好竖式计算即可，都不需要额外学习速算方法，因为不实用。
七、小数计算
小数计算，学好课本内容就可以了，因为到了中学以后，更多的是使用分数，小数的使用频率并不高。另外，小数计算和整数计算并没有太大区别，所以只要学好了整数计算，小数计算就不会有太大的问题。
小数加减法计算的关键点是数位对齐（即小数点对齐）。将小数的数位对齐后，按照整数加减法计算法则计算即可。
小数乘除法计算的关键点是扩倍和缩倍（即左右移动小数点）。通过扩倍转化为整数乘除法后，按照整数乘除法计算法则计算，再将计算结果进行缩倍即可。
八、分数计算
分数计算在中学的使用频率非常高，所以我们有必要多花一点精力，来提高分数计算的速度和准确性。
分数计算的计算法则，非常简单，很容易掌握。
具体如下：
①同分母加减法：分母不变，分子相加减。
②异分母加减法：先通分（将分母化成相同），再计算。
③分数乘法：分子乘分子，分母乘分母。
④分数除法：除以一个数，等于乘它的倒数。
根据分数计算法则，我们就可以把分数计算转化为熟悉的整数计算。整数计算的速度和准确性自然会影响到分数计算，但除此之外，分数计算还有它的一些特殊性。
由于分数计算的计算结果通常会要求化成最简分数，所以约分就成为分数计算中不可忽视的一步。而在分数乘除法中，最关键的简算思想又是“先约分，再计算”，所以约分也自然成为影响分数乘除法计算速度和准确性的决定性因素。
在异分母加减法中，通分是很关键的一步，所以通分也就成为影响异分母加减法计算速度和准确性的关键因素。
由此可知，要提高分数计算能力，其关键在于提高约分和通分的能力。约分，就是约去分子和分母的公因数，要化成最简分数，就要约去最大公因数。而通分就是去找分母的公倍数，为了简化计算，通常要找最小公倍数。
当然，约分的时候，其实并不要求一次性约去最大公因数。在做分数乘除法时，更关键的是要能一眼看出分子和分母中，哪些数有公因数，再逐一约去。但对于一些常见数（不超两位的数），如果能一眼看出它们的最大公因数，一次性约去，无疑会加快约分的速度。同时，一眼看出一些常见数的最大公因数也能加快中学因式分解的速度。
因此，“因数与倍数”这一章才是提高分数计算能力的关键。由于“因数与倍数”这部分内容，也是中学竞赛中数论部分的重要内容，所以有志于中学竞赛的同学应该深入学习一下。而对于大部分同学，也应该实现能一眼看出一些常见数的公因数、最大公因数、最小公倍数。
①一眼看出一些常见数的公因数
要想一眼看出一些常见数的公因数，就需要掌握一些基本数的倍数特征。因为同时具备数n的倍数特征的数，就有公因数n。比如：78和45，一眼看出它们数字和都是3的倍数，所以知道它们有公因数3。
学校课本中主要讲了“2、5、3”这3个数的倍数特征，因为2、5、3是最小的3个质数，使用频率非常高，而且整除特征也很简单。
对于基础比较好的同学，还可以进行一些适当的拓展，掌握4、25、8、125、9的倍数特征:
4、25的倍数特征：末两位组成两位数是4、25的倍数。
8、125的倍数特征：末三位组成三位数是8、125的倍数。
9的倍数特征：数字和是9的倍数。
②一眼看出一些常见数的最大公因数和最小公倍数
在学校教学中，求几个数的最大公因数和最小公倍数，主要会讲枚举法和分解质因数的方法，个别老师也会在分解质因数的方法基础上补充讲解短除法。
对学校讲的方法，我们必须要熟练掌握。但为了实现一眼看出一些常见数的最大公因数和最小公倍数这个目标，我们需要将更多精力放在分解质因数的方法上。
因为分解质因数的方法，让求常见数的最大公因数和最小公倍数，具备了速算的可能。当我们知道几个数的质因数分解形式后，我们立马就能得到它们的最大公因数和最小公倍数。
那么，接下来问题的关键，就变成如何瞬间完成一个常见数的质因数分解了。要实现这个目标，首先需要对100以内的质数非常熟悉，其次需要对一些基本数的质因数分解非常熟悉。
100以内的质数
通常我们只会要求孩子对20以内的8个质数形成条件反射，因为它们使用的频率实在太高了。而对于其它两位数，只需要能1秒判断其是否为质数即可。判断思路非常简单：先看个位，再看数字和，最后看是否为7的倍数。看起来好像有三步，但其实这三步几乎能同时完成。
（判断一个两位数是否为质数，只用看这个两位数是否是2、3、5、7的倍数，因为已经是三位数了。由2和5的倍数特征可知，两位质数的个位只能是1、3、7、9。由3的倍数特征可知，两位质数的数字和不是3的倍数。是否为7的倍数，只要我们表内乘法熟悉，7的2倍到9倍就能一眼判断，而70、77、84 、91中70、84看个位就已经排除，77能一眼看出，我们需要额外记住的是。）
基本数的质因数分解
对于分解质因数，孩子首先需要老老实实掌握好学校教的短除法，因为短除法分解思路清晰，能有序完成对所有数的分解。同时，短除法有序试除的思路，也可以帮助我们去判断一个多位数是否为质数。
不过，短除法虽好，但严谨的步骤，让我们无法实现对常见数的瞬间分解。比如，对于72的分解，如果按照短除法，步骤为：
熟练掌握以上这些基本数的分解后，再进行一些练习，就可以实现对常见数的瞬间分解，也就逐渐能一眼看出几个常见数的最大公因数和最小公倍数。
当我们能一眼看出一些常见数的公因数、最大公因数、最小公倍数时，我们的分数计算能力就自然随之提高了。
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