我们平时做题目时，是不是有时候会遇到一些与乘积有关的应用题，乍看起来很难，用一般的方法不是很好解答，但仔细思考后，你会发现题目里充满了玄妙，解起来还蛮有趣味性的（这也是奥数的魅力所在，会让人爱上数学的原因）。
这就是今天要讲的用分解质因数的方法来求解这一类的问题。一般情况下，是转化为关于整除的问题（用到化归思想），然后把数分解成质因数的连乘积，再根据条件或需要把某些质因数重新组合，得到答案所需要的因数，在组合时一定要注意考虑全面（用到分类讨论的思想），可能满足要求的解不是一个，而是多个，千万不能漏掉哪一个。
那么，与这一节相关的基础知识、概念必须先掌握好。首先，简单回忆复习一下常识：什么叫质数？就是除去他自己和1不能被其他的数整除；那什么叫合数？合数与质数恰恰相反，即自然数中除了能被1和本身整除外，还能被其他数（0除外）整除的数；质因数又是什么意思呢？在一个自然数的因数中，为质数的因数叫做这个数的质因数。按此逻辑，我们把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。例如：36=2×2×3×3，45=3×3×5。这一方法或过程可以通过短除法来实现，并且可以快速求出最大公因数和最小公倍数。
另外，还要记住一些特殊的情况，1既不属于质数也不属于合数；2是最小的质数，也是唯一的偶质数；最小的合数是4，也是最小的偶合数；最小的奇合数为9；所有大于2的偶数都是合数。
在这个阶段的数学学习中，所介绍的分解质因数，目的在于求出最大公约数和最小公倍数。所谓最大公约数，也称最大公因数、最大公因子，指两个或多个整数共有约数中最大的一个。a，b的最大公约数记为（a，b），同样的，a，b，c的最大公约数记为（a，b，c），多个整数的最大公约数也有同样的记号。
与最大公约数相对应的概念是最小公倍数，顾名思义，两个或多个整数的公倍数里最小的那一个就叫做它们的最小公倍数。a，b的最小公倍数记为[a，b]。关于最大公约数和最小公倍数还有一个比较重要的定理（大实话：两个数的最大公约数和最小公倍数的乘积就等于这两数的乘积）需要能够理解它的意义：
(a,b)[a,b]=ab(a,b均为整数)。
很多人会认为数学没什么用处，其实不然，只是你还没有发现而已，就像这节知识，把一个数分解成质因数相乘的形式，学会了分解不是目的，重要的是可以运用到实际的解题过程里，因此，分解质因数，可以成为启发我们寻找答案、解决许多难题的突破口，不信我们一起来看一下下面的这些例题和练习。
例1：有这样两个质数A和B，它们的和满足A＋B=64，试求出A×B的最大值。
思维养成：这是一道基础题，把64分解成两个质数的的和，不难，一种办法是把A＋B=64分解成3＋61、5＋59、11＋53、17＋47、23＋41五组质数和式，求出积的最大值；
还有一种快捷的办法就是记住一句话：“如果两个数的和一定，那么这两个数越接近，它们的乘积也越大。”其实三四年级的时候，我们就有办法验证这句话的准确性了，比方说一个长方形的周长是40 厘米，面积最大的时候，长和宽（都为整数）是多少呢？是不是都可以求出来的呀！
同样的道理，那你从64的一半32＋32，开始往前找满足条件的两个质数，效率是不是高很多呀？这题的结果就是
A×B的最大值=23×41=943。
练习题：
1、如果两个数的和是64,两个数的积可以整除4875,那么这两个数的差是多少?
2、有三个质数，它们的乘积是1547，这三个质数各是多少？
3、两个大于10的合数的和是31，求这两个数。
例2：假设A、B、C为三个小于40的质数,A B C=62,且A<B<C,求A、B、C三数的乘积为多少？
思维养成：思考这道题目，有必要复习一下奇偶数计算的一些性质：
①奇数±奇数=偶数 ②偶数±偶数=偶数
③奇数±偶数=奇数 ④奇数±偶数=奇数
（关于奇偶数的知识会有专门时间来讲解）
题目条件告诉我们，“A B C=62,且A<B<C”，由①假设A是奇数，B C的和也是奇数，因此，B、C里有一个是偶数，A、B、C是三个不同的质数，因此判定三数中有一个必定是偶质数2，另外两个数的和为62-2=60，进一步推出两数可能为13和47、17和43、19和41、23和37、29和31，最后根据三个数都小于40判定A、B、C为2、23、37或2、29、31两种组合，分别求出它们的积就行了。即：
2×23×37=1702 和 2×29×31=1798。
当然你也可以先根据②再根据①进行推断，这个过程就留给你自行推理了。另外，这题如果问的是三个数的最大乘积是多少，就只有一种结果了。
练习题：
1、A、B、C为三个小于20的质数,A B C=35,且C<B<A,求A、B、C。
2、边长为自然数,面积为36的形状不同的长方形共有多少种?
3、A,B,C为三个质数，A＋B＝24，B＋C=40，且A＜B＜C，求这三个质数。
例3：已知一个长方形池塘的面积为315平方米，并且它的宽比长少6米，王叔叔每天早上绕池塘走十圈，走了多少米呢？
思维养成：在五年级阶段，这题用方程解可能会比较麻烦！我们试着把315分解质因数看看。315=3×3×5×7，可以看到3×5比3×7正好少6，所以，这个长方形池塘的长是3×7=21米，宽是5×3=15米，它的周长就是72米，走十圈也就是720米了。
练习题：
1、老师打算拿216元买些奖品，刚好可以买若干支同样的钢笔，如果每支钢
笔便宜1元钱，那么他就能够多买3支。你知道每支钢笔原价多少元？
2、有三个学生，他们的年龄恰好一个比另一个大2岁，而他们的年龄的乘积为2688.那么他们的年龄各是多少？
3、一个长方体相邻的三个面的面积分别是9平方厘米、21平方厘米、27平方厘米,那么这个长方体的体积是多少立方厘米?
4、有一个长方体,它的正面与上面的面积和是209,如果它的长、宽、高都是质数,那么,这个长方体的体积是多少?
例4：把39、45、49、56、60、70、78、84、91九个数分成三组，使每组中三个数的乘积都相等。
思维养成：做这类题目，不能单凭一腔热情、一股蛮劲去简单的分组计算，那样太累了，要开动脑筋，这也是为什么要学习奥数的原因，和乐趣所在。我们可以先把各个数字分解质因数，统计它们质因数的总个数，再按质因数的个数进行分组相乘，简化计算量。具体步骤为：
39=3×13， 45=3×3×5，
49=7×7， 56=2×2×2×7，
60=2×2×3×5， 70=2×5×7，
78=2×3×13, 84=2×2×3×7，
91=7×13。
据此统计出这九个数中共有质因数2共九个，质因数3共六个，质因数5共三个，质因数7共六个 ，质因数13共三个，因此要使每组的乘积相等，也就是三个数的乘积中都应该含有3个质因数2,两个质因数3、7，一个质因数5、13，即满足
2×2×2×3×3×5×7×7×13
根据这样的搭配，不难看出它们的分组是：
56×91×45，70×84×39和60×78×49。
练习题：
1、把40、44、45、63、65、78、99、105这八个数平分成两组，使每组四个数的乘积相等。
2、有三个自然数a、b、c，已知a×b=40，b×c=55，c×a=88，求a×b×c的积是多少？
3、某班有50多个同学在班主任老师带领下去种树,学生恰好能分成3组,如果老师与学生每人种树一样多,共种884棵,那么每人种树多少棵?
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