有关圆的证明与计算涉及到的主要知识点有圆周角定理、垂径定理、解直角三角形、
特殊四边形的判定与性质、特殊三角形的性质、全等与相似三角形的判定与性质等．
本节主要对其相应的题型总结归纳如下：
类型一、切线的性质
【例题1】如图，已知 AB 是⊙O 的直径，P 是 AB 延长线上一点，PC 与 ⊙O 相切于点 C，
过点 C 作 CE⊥AB，交⊙O 于点 E，垂足为点 D.
(1) 求证：∠PCB＝∠BAC；
(2) 过点 B 作 BM∥PC 交 ⊙O 于点 M，交 CD 于点 N，连接 AM .
① 求证：CN＝BN；
② 若 cos P = 4/5 , CN = 5 , 求 AM 的长 .
例题1图
【参考答案】
(1) 证明：如解图1 所示，连接 OC，交 BM 于点 F .
解图1
∵ PC 是⊙O 的切线，
∴ OC⊥PC .
∴ ∠PCO＝90°.
∴ ∠PCB＋∠BCO＝90°.
∵ AB是⊙O的直径，
∴ ∠ACB＝90°.
∴ ∠ACO＋∠BCO＝90°.
∴ ∠PCB＝∠ACO.
∵ OC＝OA，
∴ ∠ACO＝∠BAC.
∴ ∠PCB＝∠BAC.
(2)
例题1图
① 证明：
∵ BM∥PC，
∴ ∠CBM＝∠PCB.
∵ CE⊥AB，
∴ ︵BC＝︵BE .
∴ ∠BAC＝∠BCE.
∵ ∠PCB＝∠BAC，
∴ ∠BCE＝∠PCB＝∠CBM.
∴ CN＝BN.
② 解：
例题1图
∵ BM∥PC，
∴ ∠MBA＝∠P.
∴ cos ∠MBA＝cos P＝4/5 .
在 Rt △BDN 中，
cos ∠MBA＝BD / BN＝4/5，BN＝CN＝5，
∴ BD＝4.
∴ CD＝CN＋ND＝8.
在 Rt △OCD 中，设 OC＝r，
则 OD＝OB－BD＝r－4.
由勾股定理，得 OC2＝OD2＋CD2，
即 r2＝(r－4)2＋8^2 .
解得 r＝10.
∴ AB＝2r＝20.
∵ AB 是直径，
∴ ∠AMB＝90°.
在 Rt △ABM 中，cos ∠MBA＝BM / AB ＝4 / 5，AB＝20，
∴ BM＝16 .
类型二、切线的判定与性质综合——双切线模型
【例题2】如图，PB 与 ⊙O 相切于点 B，过点 B 作 OP 的垂线 BA，垂足为点 C，交 ⊙O 于点 A，
连接 PA，AO，AO 的延长线交 ⊙O 于点 E，与 PB 的延长线交于点 D.
(1) 求证：PA 是 ⊙O 的切线；
(2) 若 tan ∠BAD＝2 / 3，且 OC＝4，求 BD 的长．
例题2图
【参考答案】
解：
(1) 如解图 1 所示，连接 OB，则 OA＝OB .
解图1
∵ OP⊥AB，
∴ AC＝BC.
∴ OP 是 AB 的垂直平分线．
∴ PA＝PB.
在 △PAO 和 △PBO 中，
∴ △PAO ≌ △PBO ( SSS )．
∴ ∠PAO＝∠PBO.
∵ PB为⊙O的切线，B 为切点，
∴ ∠PBO＝90°.
∴ ∠PAO＝90°，即 PA⊥OA .
∴ PA 是 ⊙O 的切线．
(2) 如解图 2 所示，连接 BE .
解图2
在 Rt △AOC 中，
tan ∠BAD＝tan ∠CAO＝OC / AC＝2 / 3，且 OC＝4，
∴ AC＝ BC = 6 .
∵ PA⊥OA，OP⊥AB，
∴ ∠PAC＋∠OAC＝90°.
∴ ∠ACP＝∠OCA＝90°，∠PAC＋∠APC＝90°.
∴ ∠APC＝∠OAC .
∴ △PAC∽△AOC.
∴ PC / AC＝AC / OC，即 PC / 6 ＝ 6 / 4 .
解得 PC＝9 .
∴ OP＝PC＋OC＝13 .
解图2
在 Rt △PCB 中，由勾股定理得，
∵ AC＝BC，OA＝OE，
∴ OC 为 △ABE 的中位线．
∴ BE＝2OC＝8，OC∥BE
.∴ △DBE∽△DPO .
∴ BD / PD = BE / PO ,
类型三、切线的判定与性质综合——切割线模型
【例题3】如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，D 是 AC 上一点，
过 B，C，D 三点的 ⊙O 交 AB 于点 E，连接 ED，EC，点 F 是线段 AE 上的一点，连接 FD，
其中 ∠FDE＝∠DCE .
(1) 求证：DF 是 ⊙O 的切线；
(2) 若 D 是 AC 的中点， ∠A＝30°，BC＝4，求 DF 的长．
例题3图
【参考答案】
(1) 证明：如解图 1 所示，连接 BD.
解图1
∵ ∠ACB＝90°，点 B，D 在⊙O上，
∴ BD 是 ⊙O 的直径．
又 ∵ ∠BDE＝∠BCE，∠FDE＝∠DCE，
∴ ∠BDE＋∠FDE＝∠BCE＋∠DCE，即 ∠BDF＝∠ACB＝ 90° .
∴ DF⊥BD .
又∵ BD 是 ⊙O 的直径，
∴ DF 是 ⊙O 的切线．
(2) 解：
解图1
∵ ∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝4，
∴ AB＝2BC＝8.
∵ 点 D 是 AC 的中点，
∴ AD＝CD＝1/2 AC＝2√3 .
∵ BD 是 ⊙O 的直径，
∴ ∠DEB＝90°.
∴ ∠DEA＝180°－∠DEB＝90°.
∴ DE＝1/2 AD＝1/2 × 2√3＝√3 . （∠A = 30°）
解图1
在 Rt △BCD 中，
在 Rt △BED 中，
∵ ∠FDE＝∠DCE，∠DCE＝∠DBE，
∴ ∠FDE＝∠DBE.
∵ ∠DEF＝∠BED＝90°，
∴ △FDE∽△DBE .
∴ DF / BD = DE / BE , 即 DF / 2√7 = √3 / 5 ,
∴ DF＝2√21 / 5 .
类型四、三切线模型
【例题4】如图，AB 是 ⊙O 的直径，AB⊥BD，AC 与 ⊙O 相切于点 A，点 E 为 ⊙O 上一点，
且 AC＝CE，连接 CE 并延长交 BD 于点 D.
(1) 求证：CD 为 ⊙O 的切线；
(2) 连接 AD，BE 交于点 F，⊙O 的半径为 2，当点 F 为 AD 中点时，求 BD 的长．
例题4图
【参考答案】
(1) 证明：如解图 1，连接 OC，OE .
解图1
∵ AB 是 ⊙O 的直径，AC 与 ⊙O 相切于点 A，
∴ ∠OAC＝90°.
在 △ACO 和 △ECO 中，
∴ △ACO ≌ △ECO ( SSS )．
∴ ∠OEC＝∠OAC＝90°.
∴ OE⊥DC.
∴ CD 为 ⊙O 的切线．
(2) 解：如解图 2 所示，连接 OF，AE，过点 F 作 FG⊥BD 于点 G .
解图2
∵ AB⊥BD，
∴ ∠ABD＝∠FGD＝∠FGB＝90°.
∴ FG∥AB .
∴ ∠ABF＝∠BFG.
∵ AB 是 ⊙O 的直径，
∴ ∠AEB＝∠FGB＝90°.
∴ △ABE∽△BFG .
∴ AB / BF ＝BE / FG .
解图2
∵ 点 F 为 AD 中点，O 为 AB 中点，
∴ OF∥BG .
易证四边形 OFGB 是矩形．
∴ FG＝OB＝2.
∵ AB 是 ⊙O 的直径，AB⊥BD，
∴ BD 是 ⊙O 的切线．
由 (1) 知 CD 是 ⊙O 的切线，
∴ DB＝DE.
∴ ∠DEB＝∠DBE.
∵ ∠ABD＝90°，点 F 为 AD 中点，
∴ BF＝FD.
∴ ∠DBE＝∠FDB.
∴ ∠FDB＝∠DEB.
解图2
又 ∵ ∠FBD＝∠DBE，
∴ △FBD∽△DBE .
∴ BF / BD＝BD / BE .
∴ BD2＝BF·BE.
设 BF＝a，BD＝n.
∵ △ABE∽△BFG，
∴ AB / BF = BE / FG ,
∴ 4 / a = BE / 2 ,
∴ BE = 8 / a ,
∵ BD2＝BF·BE，
∴ n2＝a · 8 / a .
∴ n2＝8 .
∴ n＝2√2 ( 负值舍去 )．
∴ BD 的长为 2√2 .
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