一、常见的几何最值问题：
1、如图、已知直线 l 及点 A、B，在直线 l 上做点 P ，使 PA PB 最小。
图（1）
当 P 、 A 、 B 三点共线时，PA PB 最小，最小值为 AB 。
依据：两点之间的线段距离最短。
2、如图、已知直线 l 及点 A、B，在直线 l 上做点 P ，使 PA PB 最小。
图（2）
当 P 、 A 、 B' 三点共线时，PA PB 最小，最小值为 AB' 。
依据：两点之间的线段距离最短。
3、如图、已知直线 l 及点 A ，在直线 l 上作点 P ，使 PA 最小。
图（3）
依据：垂线段最短。
4、如图、已知直线 l 及点 A、B ，点 B 在直线 l 上，在直线 l 上做点 P ，使 PA 1/2PB 最小。
图（4）
图（5）
作法：
①过终点 B 在直线 l 下方作一条射线 BM ，使之与 BP 构成的角满足 sina = 1/2 , a = 30° ；
②过起点 A 做该射线的垂线 AH ；
③该垂线与直线 l 的交点 P' 即为所求。
依据：当 A、P'、H 三点共线时，P‘A 1/2P'B 最小，最小值为 AH 。
二、典型例题：
例题、如图1所示，在平面直角坐标系中，抛物线 y = -x^2 2x 3 与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于点 C ，点 D 是抛物线的顶点，点 P(3/2 ， 15/4）是抛物线上一点。
（1）点 A、B、C、D 的坐标分别是多少？
（2）如图2，M 为 y 轴上一动点，求 BM DM 最小值及此时点 M 的坐标。
（3）如图3，M 为 y 轴上一动点，N 为抛物线对称轴上一动点，且 MN⊥y轴，求 PN MN BM 的最小值。
图（6）
图（7）
图（8）
解：
（1）A（-1,0）； B（3,0）； C（0,3）；D（1,4）。
（2）
图（9）
（3）
图（10）
三、总结：
1、2个原理： ①两点之间，线段最短；②垂线段最短。
2、2种手段： ①轴对称；②平移。
3、1种思想：转化的思想。
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