1. 映射1.1 映射

映射: 集合X有元素x,如果存在一个法则f,使得在X中的任意元素x都存在集合Y中的元素y与之一一对应。则称f为从XY映射

专升本数学函数讲解(专升本高数专题)(1)

 像: 元素y原像: 元素x

定义域: 集合X 值域: 集合Y

满射就是Y中所有元素都是X中某元素的像,单射就是只存在一对一的映射,值得注意的是,映射又称为算子泛函变换,在不同的数学分支自然有不同的叫法,而在实数集到实数集的映射通常叫做函数

1.2 逆映射与复合映射

逆映射: f是从XY单射,如果存在法则g为从YX的映射,则法则g是法则f的逆映射。

复合映射: f是从XY映射,若f的值域都在映射g的定义域内,则fg所构成的新映射为复合映射。


2. 函数2.1 函数的定义

函数: 定义域和值域都在实数域内的映射。

自变量即映射的原像,因变量即映射的像。

自然定义域: 对于用抽象的算式表达的函数,使得该算式有意义的一切实数所组成的集合。


2.2 函数的几种特性2.2.1 函数的有界性

上界: 对于一个函数f(x),存在实数K1满足

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下界: 类比上界,

专升本数学函数讲解(专升本高数专题)(3)

有界: 存在正数M

专升本数学函数讲解(专升本高数专题)(4)

2.2.2 函数的单调性

单调递增: 在一个区间内,变量值大的函数值总是大于变量值较小的函数值,即

专升本数学函数讲解(专升本高数专题)(5)

单调递减: 在一个区间内,恒存在:

专升本数学函数讲解(专升本高数专题)(6)

单调函数: 单调递增和单调递减的函数的统称。

2.2.3 函数的奇偶性

奇函数:

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偶函数:

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非奇非偶: 同时不满足奇函数和偶函数的定义。

2.2.4 函数的周期性

周期函数: 存在正数T,使得函数

专升本数学函数讲解(专升本高数专题)(9)

周期: 上述的正数T,通常指最小正周期


2.3 反函数与复合函数

反函数: 定义域和值域都定义在实数集的映射f的逆映射。

复合函数: 定义域和值域都定义在实数集的映射所组成的复合映射。


2.4 函数的运算

和差商积。


2.5 初等函数

基本初等函数:

初等函数: 用基本初等函数复合构成的函数。

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知识点合集:

1. 形成映射的条件:A集合内的元素必须用完,对应关系为一对一或多对一。计算映射个数时,可以使用排列的思想来理解:A中第1个元素有几种对应情况×A中第2个元素有几种对应情况×…

2. 原象和象:A→B,A中的元素为原象,B中的元素为象

3. 函数解析式:对应关系,整体法带入的思想

1.1 映射与函数-题目

专升本数学函数讲解(专升本高数专题)(11)

1.1 映射与函数-答案

专升本数学函数讲解(专升本高数专题)(12)

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