在数学中，有一个领域被称为代数几何（algebraic geometry），它解决的是关于抽象的几何空间性质的基本问题。这些问题通常可以被阐释得很简单，但若想要解决它们，就需要非常精湛的技术。在众多的研究者中，有一位年轻的数学家不仅完全掌握了这些技术，还拥有深刻的几何直觉，使他超越技术成就，打破新的概念基础。
他的名字叫做考切尔·比尔卡尔（Caucher Birkar），出生于伊朗库尔德地区的一个农村，现任剑桥大学的数学教授。他因在对不同类型的多项式方程进行的分类所作出的杰出贡献而获得今年的菲尔兹奖。他证明了这类方程的无限多样性，可以被分割成有限数量的类别，这在代数几何领域中是重大的突破。
○ Caucher Birkar在英国剑桥附近的家中，正在演奏库尔德曲。| 图片来源：Philipp Ammon
代数几何是两种数学分支的融合，一端是代数——关于方程的研究，另一端是几何——关于形状的研究。这提供了看待同样问题的两种不同方式。代数几何研究的基本对象名为代数簇（algebraic variety），也就是一组多项式方程解的集合。取决于等式中变量的范围，方程的解集可以具有不同的形式。
以代数方程y= x 2为例，代表这个方程的几何对象是一条直线，它的斜率为1，并与纵轴相交于点2。而如果想找到两个线性方程共同的解，既可以通过代数方法联立方程求解，也可以在坐标平面上绘制代表两个线性方程的直线，确定它们的交点。
○ （1）线性方程与平面上的直线；（2）一个代数族包括一系列具有共同特征的方程。例如，通过原点的一系列线性方程可以用圆上的点作参数来标记。| 图片来源：QuantaMagazine
代数方程x² y²=1则表示坐标平面上以原点(0, 0)为圆心，半径为1的圆。在三维空间更可以考虑代数曲面，类似于二维空间的圆，方程x² y² z²=1表示三维空间中以原点(0, 0, 0)为球心，半径为1的球面。
另外，方程中的变量还可以定义在不同的数域上。例如对等式 x² y² = z²来说，如果 x、y、z在整数范围内变化，则解集是毕达哥拉斯三元组的集合。如果 x、y、z在实数范围内变化，则解集是三维空间中的一个锥形。如果 x、y、z 是复数，那么解集不能直接可视化，它是从复数继承了几何结构的抽象空间。
还有许多更复杂的多项式方程。因此，数学家引入了代数簇的概念。存在无限数量的代数簇，每一个代数簇都有着独特的几何表示。代表线性方程的直线、圆、球面都是代数簇的例子，但是代数簇可以复杂得多，它们甚至可以存在于更高的维度。
代数簇具有高度的丰富性和灵活性，因此，数学家想要对代数簇进行分类。这种分类的冲动就像对自然中的生物进行分类一样，通过分类，按照“界门纲目科属种”来思考，而不是对着每一个生命体观察与沉思，生物世界在我们的头脑中会变得有规律可循，也更有意义。
双有理几何（Birational geometry）就是变换代数簇以对其进行分类的一种方法。这就像是一个割补的过程：从一个有着自己独特形式的代数簇开始，切掉它凹凸不平的地方，让一些褶皱变得平滑，最终得到一种更普遍的形状。当然，对于如何割补有着严格的规则限制，以确保不会完全改变最初的形状。经过一番割补，许多最初截然不同的代数簇将变得相同，这时候，我们说它们属于同样的双有理等价类（birational equivalence class）。
○ 两种双有理变换的例子：（1）一个并未通过原点的曲线上的纽结（knot）可以被解开；（2）曲线上的一些褶皱变得平滑。| 图片来源：QuantaMagazine
有三种双有理等价类，也就是三种不同类型的代数簇：法诺簇（Fano variety）、卡拉比-丘簇（Calabi-Yau variety）、一般类型的簇（variety of general type）。这是代数簇的三种普遍形状，就像“昆虫”是对蝴蝶、蜘蛛、蚂蚁等许多不同种类昆虫的统称一样。数学家希望证明，通过双有理变换（birational transformation），每一个代数簇都会转化为三种类型中的一种。
比尔卡尔正是在双有理几何领域做出了巨大贡献。为了将无限多样的方程分为有限多的种类，极小模型纲领（Minimal Model Program，MMP）提出了一种方法来识别每个类中特殊的簇，在某种意义上，这些簇是最简单的，并且提供了可以构建其他更复杂的簇的基础材料。
1. 一维
双有理分类（birational classification）的根源可以追溯到十九世纪伟大的几何学家黎曼（Bernhard Riemann），他研究了一维复代数簇。对于每一个这样的簇，都可以构想一个黎曼曲面，也就是具有从复数继承而来的额外几何结构的二维曲面。这样的曲面有三种不同的类型：
- 有正曲率，如球面；
- 有零曲率，如有着一个孔的甜甜圈（二维环面）；
- 有负曲率，如有着多个孔的甜甜圈。
孔的数目为一维簇的分类提供了一个自然的不变量。
○ 从左到右依次为球面、环面和多个孔的曲面。双有理分类的主要目标是证明，任何一个簇都可以变换为三种基本类型的簇中的一种。| 图片来源：ICM
2. 二维
二十世纪初，意大利代数几何学家对二维簇进行了大量研究。他们广泛使用了双有理性（birationality）的概念：如果两个簇是双有理等价的，那么，除了一些小的可以忽略的子集，它们本质上是相同的。
双有理等价为分类簇提供了一个灵活的方法。这些意大利几何学家发现，通过将一个点“放大（blow up）”，或者说扩展为一种被称为(-1)-曲线的特殊曲线，可以使二维复代数簇更复杂。反过来，通过将(-1)-曲线“缩小（blow down）”，或者说收缩为一个点，也可以逆转这个过程，并简化二维簇。放大或者缩小一个簇会在相同的双有理等价类（birational equivalence class）中产生一个新的簇。重复缩小过程尽可能多次，最终会产生一个极其简单的簇。
正如一维情形那样，这些简单的二维簇也分为三类：
- 第一类被称为森-法诺（Mori-Fano）纤维空间，是由法诺簇（Fano variety）构建的；法诺簇是黎曼球面的自然推广，具有正的曲率。
- 第二类被称为卡拉比-丘（Calabi-Yau）纤维空间，是由卡拉比-丘簇构建的；卡拉比-丘簇是二维环面的自然推广，曲率为零。
- 第三类被称为一般类型的簇，是负曲率黎曼曲面，也就是至少有两个孔的曲面的自然推广。
3. 三维
为解决二维簇而发展的方法不能解决三维情形的问题，我们需要一种新的方法。这种新方法在二十世纪七八十年代出现在森重文（Shigefumi Mori）的工作中。因为(-1)-曲线并不存在于三维空间，他需要发展一种全新的缩小的方法。这种新的方法会产生奇点，也就是簇上不光滑的点。
当时，这个关于奇点理论的新进展可解决某一些情况的问题，但是要解决另一些问题还需要使用一种被称为翻转（flip）的新工具。直观地理解，在这个过程中，我们切割一个区域，将这个区域翻转，然后重新拼接回去。森重文证明，在三维情况下存在翻转，是将极小模型纲领作为分类簇的一种方法的关键。他的工作为他赢得了1990年的菲尔兹奖。
在粗糙的水平上，三维簇的分类与二维情形呈现出相同的主题，那就是，特别简单的簇同样分为三类：
- 森-法诺纤维空间；
- 卡拉比-丘纤维空间；
- 一般类型的簇。
然而，相比于二维情形，在三维情形下对每一类进行更为精细的分类要复杂得多，因为三维簇本质上就比二维簇复杂。按照极小模型纲领的术语，卡拉比-丘纤维空间中的簇和一般类型的簇被称为“极小模型”。
○ Caucher Birkar认为，数学包括两个阶段。第一个阶段是阅读前人创造的的美丽的数学，就像是在一个美丽的小镇观光旅行。| 图片来源：ICM
4. 超越三维
在二十世纪八九十年代，包括Vyacheslav V. Shokurov在内的几个数学家发展出了极小模型纲领的一种推广形式，并称之为对数极小模型纲领（log MMP），其中每个簇与低一个维度的一系列簇配对。事实证明，研究这些对增添了一种强大的灵活性，可以在很多证明中用到。尽管它涉及的技术挑战令人望而生畏，但这些发展点燃了极小模型纲领可以被扩展到超过三维的希望。其中最困难的挑战包括如何处理奇点，以及如何证明更高维度存在翻转。后者成为代数几何领域一个突出的开放性问题。
2003年，Shokurov的一篇论文带来了一个主要的进展，他扩展了之前关于三维翻转的工作以确立四维翻转的存在。比这个具体的结果更重要的是，Shokurov为解决更高维度极小模型纲领问题勾勒出了新的理念。与森重文的具体的几何方法不同，Shokurov的工作与代数更相关，从像上同调理论这样高度抽象的数学分支汲取思想。
○ 第二个阶段是在城市上空飞翔，可以清楚地看见事物之间的连接。在数学上，只有清楚看见不同概念之间的联系，才能有所创造。| 图片来源：ICM
5. BCHM
作为Shokurov的博士生，比尔卡尔吸收并改进了这个新理念，同时也掌握了所需的强大技术。2006年，在完成博士学位两年后，Birkar与其他三位数学家合作，取得了重大突破。他们写的论文现在被普遍称为BCHM，是比尔卡尔与其他三位作者Paolo Cascini、Christopher Hacon、James McKernan的姓氏首字母的缩写。
BCHM的主要结果之一是标准丛（canonical bundle），标准丛是一种构造，处于双有理几何的核心。标准丛在一个簇的任意点上都有定义，它以一种特别有用的方式，封装了关于簇的大量几何信息。通过取规范丛的部分及其指数幂，会得到一个被称为标准环（canonical ring）的几何对象。BCHM肯定地回答了一个长久以来悬而未决的问题——标准环是否是有限生成的。
BCHM也证明了这个结果的一个局部版本，这使得他们能够在超过二维的所有维度上确立翻转的存在性。然后，他们就能够证明一般类型簇的极小模型的存在性。
BCHM改变了双有理几何的研究图景，打开了之前被认为是无法进入的领域。这篇文章中引入的工具和观点已经被广泛应用，并产生了巨大影响。尽管如此，许多谜团仍然存在，特别是关于一般类型以外的簇。
因此，2016年，数学界以极大的热情迎接比尔卡尔的两篇论文，它们主要研究法诺簇的情形。这个杰作的顶峰是Birkar对于Borisov-Alexeev-Borisov猜想的证明，这个猜想预测，在合理的假定下，法诺簇形成一个有界族（bounded family）。更具体地说就是，Birkar证明了，在任何确定的维度下，具有轻微奇点的法诺簇都能够用有限数量的参数来标记。
○ （1）许多不同的形状；（2）双有理变换；（3）变换后的形状曲率都为正，这是定义法诺簇的一个特征；（4）法诺簇会形成有序的族，就像一系列通过原点的直线。| 图片来源：QuantaMagazine
比尔卡尔的论文还包含另一个令人惊叹的进展——它解决了出现在极小模型纲领中的特定类型奇点的问题。不久之后，这项工作将有望引导双有理几何领域很多突出问题的解决。数学家在世界各地举办研讨会和讲习班，以研究比尔卡尔的工作，并希望从中有所借鉴。
极小模型纲领尚未完全建立在所有维度上。特别是预测的以卡拉比-丘纤维空间为极小模型的高维簇的情况，仍然神秘莫测。比尔卡尔的工作必将指引并激发新的发展。
6. 特征为p的域上的双有理分类
迄今为止所讨论的极小模型纲领都属于这样一类簇，即定义多项式中的变量在复数范围内。一个新的前沿是变量属于其他数集的情况。例如，给定集合{0, 1, 2, 3, …, p−1}，其中p是质数，我们可以定义算术运算为加上和乘以模p（类似于“时钟算术”，13点也就是下午1点，因为13模12的结果是1，等于13/12的余数）。这个集合与定义其上的这些运算一起被称为特征为p的域（field of characteristic p）。给定一个多项式的集合，我们可以允许变量在特征为p的域上变化。
○ 在时钟算术中，13点也就是下午1点，因为13模12的结果是1，等于13/12的余数。| 图片来源：Wikipedia
特征为p的簇非常吸引人是因为，它们与数论有很多联系，所以它们的双有理分类会非常有用。特征为p的域上的分类预计会与复数上的分类有一定的相似性。然而，很多为复数情况开发的工具却并不能应用到特征为p的域上，所以需要一种全新的方法。
Birkar对这个蓬勃发展的领域进行了深入研究，并作出了一些重大贡献。特别是，在Christopher Hacon和许晨阳的工作基础上，Birkar证明了当p > 5时，对于特征为p的域上的三维簇，对数翻转和对数极小模型的存在。
○ Caucher Birkar出生于伊朗库尔德地区一个农场家庭，成长在战乱的年代。中学阶段，他的哥哥教给他微积分知识，之后，他考入德黑兰大学，并在英国诺丁汉大学获得博士学位，现在他是剑桥大学纯数学系的教授。他希望自己获奖的消息会为自己的同胞带来些许慰藉。| 图片来源：ICM
因为对于处在代数几何核心的深刻而基本的问题有着良好的直觉，比尔卡尔已经成为这个领域新的领导者。他不仅对这个高度技术性学科的许多前沿的最新工具有着很好的技巧，也创造了一些最强有力的创新。他为自己的作品注入一种强烈的几何直觉，以及处理长期悬而未决的困难问题的无所畏惧。Caucher Birkar必将在数学领域做出更突出的贡献。
编译：乌鸦少年
参考来源：
https://www.mathunion.org/fileadmin/IMU/Prizes/Fields/2018/birkar-final.pdf
https://www.quantamagazine.org/caucher-birkar-who-fled-war-and-found-asylum-wins-fields-medal-20180801/
https://plus.maths.org/content/test-1-0
