#创作挑战赛#
单调数列要么没有聚点，如果有，就只有唯一的聚点。这一点看起来似乎是毋庸置疑的。但是你能证明吗？并且能不能推出它的其它重要的性质呢？比如证明这个聚点就是数列的确界呢？
证明：单调数列{xn}若存在聚点，必是唯一的，且是{xn}的确界.
不防设这是一个递增的数列，递减数列同理。下面老黄要分成四步来证明这个问题。
(1)证明任何小于已知聚点的点，都不是数列的聚点。
证：(1)设递增数列{xn}的聚点ξ，任给实数a<ξ，取ε1=(ξ-a)/2>0, 【取ε是一个技术活，这样取是为了使ξ的邻域和a的邻域没有交集。由于这里实质是运用反证法，证明a不是聚点，所以只需取一个具体的ε1就可以了，不需要任取ε】
由聚点定义，U(ξ,ε1)中含有{xn}无限多个项，设xN∈U(ξ,ε1)，
由{xn}的增性，当n≥N时，xn≥xN，【落在ξ的邻域的点就不在a的邻域上，即有无限多项落在U(ξ,ε1)上，就有无限多项不落在U(a,ε1)上，因为两个邻域的交集是空集嘛】
∴U(a,ε1)中最多含有{xn}的有限多个项：x1,x2,…,x_(N-1)，【虽然有无限多项不落在a的邻域上，不能说明就只有有限多个项落在a的邻域上。但很明显的，只有这些点才有可能落在a的邻域上，而这些点就是有限多个的，即最多只有N-1个项在U(a,ε1)上，不符合a是聚点的定义】
∴a不可能是{xn}的聚点.
(2)再证任意比已知聚点大的点，也不是聚点。结合(1)就可以说明聚点的唯一性了。教材说“同理可证”。老黄要说“同理你个头啊”。这根本不可能同理得证的好不好！老黄换一种方法，直接利用(1)的结论来反证。
(2)任给实数a>ξ时，若a是{xn}的聚点；
由(1)可推出ξ不可能是{xn}的聚点. 矛盾！
∴a不可能是{xn}的聚点.
即ξ是{xn}唯一的聚点.
(3)接下来分两步证明这个聚点是单调数列{xn}的确界。先证聚点是上界。
若存在xN>ξ，取ε2=xN-ξ>0，则【这个ε2取得也是相当好的，因为比xN大的项，比如x_(N 1)明显就不在这个邻域上了】
在U(ξ,ε2)内最多有{xn}的有限多个项： x1,x2,…,x_(N-1)，与聚点定义矛盾.
∴ξ是{xn}的上界. 【即数列中不存在比ξ大的项】
(4)再证这个聚点是单调数列的上确界。
(4)对任给的正数ε，存在xn∈U(ξ,ε)，即xn>ξ-ε，【即任意小于ξ的数都不是数列的上界，这就是上确界的定义】
∴ξ是{xn}的上确界.
同理，递减数列{xn}若存在聚点，必是唯一的，且是{xn}的下确界.
其实，根据“单调有原理”，直接就可以得到单调数列有聚点则必唯一的结论了。因为单调有界就有极限，而极限只能是唯一的聚点。如果有其它聚点，那么就不存在极限。只能有不等的上极限和下极限。尽管如此，上面的证明也并非没有意义的。看懂了，学会了，就会对聚点有更深刻的认识了。
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