空间几何体的外接球问题探究
文/强哥
【摘要】尽管新课标对球的考查降低了要求，球面距离在考试中已经不会出现，现在的高考对多面体与球的考查是非常基础的，但这并不意味着可以忽视这部分的教学，在平时的教学中发现，只要是与球有关的问题，学生都无从下手，因此将空间几何体的外接球问题的类型及解法进行多方面的探讨。
【关键词】高中数学；空间几何体；外接球；球心
空间几何体的外接球问题是高考试题的热点问题之一，因为与球有关的几何体很难直观地作出图像，所以这类问题对学生的空间想象能力以及化归能力要求很高。下面介绍几种与空间几何体外接球有关的问题，并归纳总结确定外接球球心的常见方法。
一．求球的内接几何体问题
将立体几何问题化归为平面几何问题是重要的解题方法，因此在空间几何体中寻找平面是主要的解题方法，从不同角度分析截面，归纳有效的平面，设球心到截面的距离为
，截面圆的半径为
，球的半径为
，则有
。
例1.（2012年新课标理11）已知三棱锥
的所有顶点都在球
的求面上，
是边长为
的正三角形，
为球
的直径，且
,则此棱锥的体积为（ ）
【解析】
的外接圆的半径
，点
到面
的距离
为球
的直径
点
到面
的距离为
此棱锥的体积为
。
例2. （2011年新课标理15）已知矩形
的顶点都在半径为4的球
的球面上，且
,则棱锥
的体积为 。
【解析】设ABCD所在的截面圆的圆心为M,则AM=
,
OM=
，
。
二．求空间几何体的外接球
1．与长方体有关的外接球问题
长方体从一个顶点出发的三条棱分别为
，则体对角线长为
，几何体的外接球直径
为对角线长
，即
因此将多面体“补”成长方体（正方体）是研究多面体外接球的常用的办法。
（1）三条棱两两垂直的几何体的外接球
例3. （2008年福建理15）若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为
，则其外接球的表面积是____.
【解析】由题意，可以构造一个正方体,其体对角线就是外接球的直径,则其外接球的半径
于是其表面积
例4.三棱锥
中，
平面
，
，若
，则该三棱锥的外接球的体积是 。[来源:学科网ZXXK]
【解析】“补体”，将三棱锥补成长方体，如图所示：
它的对角线PC是其外接球的直径，所以
故它的体积为：
（2）正四面体的外接球
例5. （2006年山东理12）如图，在等腰梯形ABCD中，AB=2DC=2,∠DAB=60°,E为AB的中点，将△ADE与△BEC分别沿ED、EC向上折起，使A、B重合于点P，则P－DCE三棱锥的外接球的体积为（ ）
A．
B.
C.
D.
【解析】有题设可知，三棱锥
为棱长是1的正四面体，其外接球的半径为
，于是三棱锥外接球的体积为
（3）相对棱两两相等的四面体的外接球
例6.四面体
中，
求四面体
外接球的表面积.
【解析】由题意，可将四面体
补成棱长分别为3,4,5的长方体，长方体的外接球即为四面体
的外接球，所以其外接球的半径
所以四面体
外接球的表面积为
2.具有公共斜边的直角三角形的几何体的外接球
利用直角三角形斜边中点到各顶点距离相等这个原理，若几何体是由有公共斜边
的几个直角三角形组成，那么斜边中点就是几何体外接球球心.
例4．方法二：“找球心”（到三棱
锥四个顶点距离相等等的点）.注意到
是
和
的公共的斜边，
记它的中点为
，则
，即该三棱锥的外接球球心为
，半径为1，故它的体积为
例7.如图，平面四边形
中，
，
，将其沿对角线
折成四面体
，
使平面
平面
，若四面体
顶点在同
一个球面上，则该球的体积为( )
A.
B.
C.
D.
【解析】由已知可求得
因为
又因为
，所以
的中点为球心，所以半径
球的体积
三．一般三棱锥的外接球
一般几何体的外接球问题是难点，要找出球心即到各个顶点距离相等的点，需充分利用多边形外接圆圆心到多边形顶点距离相等原理，再结合轨迹知识从而找到球心.
例8.已知三棱锥的三视图如右图所示，则该几何体的外接球的体积为（ ）
【解析】由三视图可知，几何体底面是顶角为
，底边长为
的等腰三角形，所以其外接圆的直径
球心到截面距离
所以外接球半径
外接球体积
四．其它特殊几何体的外接球
正棱锥、正棱柱、圆锥、圆柱这些特殊几何体的外接球问题，也是高考的重点内容之一，要充分利用这些特殊几何体的性质，尤其是对称性，找到球心位置，从而求出外接球的体积或表面积.
例9.（2008年新课标理15）一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直底面．已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为
，底面周长为3，则这个球的体积为 ．
【解析】因为正六边形周长为3，得边长为
故其主对角线为1，从而球直径
所以球的体积
.
例10.（2010年新课标理10）设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为
，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为( )
A.
B.
C
.
D.
【解析】根据题意条件可知三棱柱是棱长都为
的正三棱柱，上下底面中心连线的中点就是球心，则其外接球半径为
球的表面积为
例11.正四棱锥
的五个顶点在同一球面上，若该正四棱锥的底面边长为4，侧棱长为
，则这个球的表面积为 .[来
【解析】正四棱锥
的外接球的球心在它的高
上，
记为
，
或
（此时
在
的延长线上），在
中，
得
，∴球的表面积
例12.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体外接球的表面积为___________.
【解析】由三视图可知，几何体是圆锥，该圆锥的外接球球心在高所在直线上，球心到圆心的距离
或
，所以
得
，∴球的表面积
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