我们知道,形容y' P(x)y=Q(x)的微分方程称为一阶线性微分方程。

当Q(x)=0时,则该方程变为一阶齐次线性微分方程。

当Q(x)不等于0时,该方程就叫做一阶非齐次线性微分方程。

至于一阶齐次线性微分方程和一阶非齐次线性微分方程的通解,我们进行记忆即可。

话不多说,我们来看一道实际例题。

一阶线性非齐次微分方程解的性质(一阶非齐次线性微分方程)(1)

图一

如图所示,这道题正好给出了一个一阶非齐次线性微分方程,让我们来求通解。

我们先来分析一下题目,题目中给出的y' y=f(x)就是一个微分方程,f(x)是R上的连续函数,这里涉及到连续函数的定义,函数y=f(x)当自变量的x变化很小的时候,引起的因变量y的变化也很小,这里给出在整个实数域上都是连续的,也就是当x趋向于0时,f(x)也趋向于0.

我之前说过,对于两个方程的通解公式进行记忆即可,接下来我给出第一题的解决方案。

一阶线性非齐次微分方程解的性质(一阶非齐次线性微分方程)(2)

图二

如图所示,正如我图中所讲的那样,两个公式记忆再代入,那就很快能够解决这道题目的第一小题,接下来是第二小题的证明题。

一阶线性非齐次微分方程解的性质(一阶非齐次线性微分方程)(3)

图三

如图所示,这道题时让我们证明如果f(x)是周期为T的函数,我们就可以先设y(x)是方程的任意解,因为f(x)的周期是T,那就意味着f(x T)=f(x),然后再一步步来解答,这道题就可以很快的证明出来方程存在唯一的以T为周期的解。

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