本题考查抛物线的切线性质，涉及椭圆的方程、椭圆的切线、抛物线的切线、导数的应用等知识点，考查数形结合的思想、转化与划归的思想，属于中档题。
本题主要考查抛物线，椭圆并没有多大作用，本题完全可以改编为求点P的轨迹方程，因此不要被披着狼皮的羊给吓晕了。
第（Ⅰ）问考查椭圆的切线，由对称性得出其中一条切线的方程，然后联立方程由判别式等于零求出基本量，代入即可得到方程。
第（Ⅱ）问，通过导数求得抛物线的切线方程，进而求得切点弦的方程，由切点弦的方程得到点P的轨迹方程。由于点P的轨迹是一条与椭圆相交的直线，因此存在两个这样的点P满足要求。
值得说明的是，本题蕴含深刻的数学背景，归结为下面定理：
