通过三角函数换元法、二次方程判别式和多元函数导数法，介绍求椭圆内接矩形的最长周长。
方法一：三角换元法
设矩形与椭圆在第一象限的交点为A(m,n),则：
则矩形的周长C=4(m n),又因为点A在椭圆上，有：
m^2/2 n^2=1,
设m=√2sint，n=cost，t∈[0,π/2],
代入周长表达式得：
C=4(√2sint cost)
=4*√3 [(√2/√3)sint (1/√3)cost]
=4*√3sin(t φ),其中tanφ=√1/2.
可知当sin(t φ)=1时，周长有最大值，即：
Cmax=4*√3.
方法二：判别式法
∵C=4(m n)，
∴m=C/4-n,代入椭圆方程得：
(C/4-n)^2/2 n^2=1,
(C/4-n)^2 2n^2=2,
16*3n^2-8Cn C^2 16*2*n^2-16*2=0,
看成为n的二次方程，由判别式得：
(8C)^2-4*16*3(C^2-16*2)≥0，即：
C^2≤16*3,可得Cmax=4*√3.
方法三：多元函数法
设F(m,n)=4(m n)- λ(m^2/2 n^2/1-1),
分别求F对m，n，λ的偏导数为：
Fx=4-2mλ/2,Fy=4-2nλ,
Fλ= m^2/2 n^2-1。
令Fx=Fy=Fλ=0，则m/2=n,
代入m^2/2 n^2-1=0，则：
m=2/√3，n=1/√3;则
周长Cmax
=4*(2/√3 1/√3)
=4*√3。
更多方法，欢迎大家讨论。
,
