【中考真题】
（2020•北京）在△ABC中，∠C＝90°，AC＞BC，D是AB的中点．E为直线AC上一动点，连接DE．过点D作DF⊥DE，交直线BC于点F，连接EF．
（1）如图1，当E是线段AC的中点时，设AE＝a，BF＝b，求EF的长（用含a，b的式子表示）；
（2）当点E在线段CA的延长线上时，依题意补全图2，用等式表示线段AE，EF，BF之间的数量关系，并证明．
【分析】本题图形非常简洁，题目就给出了一个直角三角形，而且内部也出现一个直角三角形。这样的图形还是比较常见的呢。
题（1）比较简单，因为都是中点，所以很容易得出EF的长度。
可以发现
AE² BF²＝EF²。
题（2）是问当点E在CA的延长线时求三条线段的关系。关键就是画出图形再进行分析。
有了题（1）的结论，我们可以猜测结论仍然成立。一般此类题目的结论都是不会变化的。
由于点D为中点，因此可以考虑用倍长中线的方法。
倍长中线法
如图，倍长ED至点M，再连接BM、MF即可得到Rt△BMF，结论易得。
本题其实在刚学勾股定理的时候也会遇到，不知道大家是否有印象。题目只是稍加改编。
【答案】解：（1）∵D是AB的中点，E是线段AC的中点，
∴DE∥BC，DE=1/2BC，
∵∠ACB＝90°，
∴∠DEC＝90°，
∵DF⊥DE，
∴∠EDF＝90°，
∴四边形CEDF是矩形，
∴DE＝CF=1/2BC，
∴CF＝BF＝b，
∵CE＝AE＝a，
∴EF=√(CF² CE² )=√(a² b²)；
（2）AE² BF²＝EF²．理由如下：
过点B作BM∥AC，与ED的延长线交于点M，连接MF，
则∠AED＝∠BMD，∠CBM＝∠ACB＝90°，
∵D点是AB的中点，
∴AD＝BD，
在△ADE和△BDM中，
∠AED=∠BMD，∠ADE=∠BDM，AD=BD，
∴△ADE≌△BDM（AAS），
∴AE＝BM，DE＝DM，
∵DF⊥DE，
∴EF＝MF，
∵BM² BF²＝MF²，
∴AE² BF²＝EF²．
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