2022年高考全国卷的双曲线问题，还是有一点难度的。老黄准备了两把刷子，第一把刷出了一点小问题，终于在第二把刷子上找到突破口。这把刷子叫做“平移函数图像使问题变得比较简单”。
已知点A(2,1)在双曲线C:x^2/a^2-y^2/(a^2-1)=1(a>1)上，直线l交C于P，Q两点，直线AP，AQ的斜率之和为0.
(1)求l的斜率；
(2)若tan∠PAQ=2根号2, 求△PAQ的面积.
分析：第一步当然是要求出双曲线的解析式了。只要将A点的坐标代入，就可以求得a值，这个很容易。
(1)接下来有两把刷子，可以选择，一是运用“代数法”求解，二是运用“几何法”求解。几何法老黄搞不定，所以选择代数法。
代数法自然是通过求P，Q的坐标（可能包括未知数，但未知数最后可以约掉，或者这个未知数本来就是所求的斜率k），然后利用两点的斜率公式求解。或者列关于l的斜率k的方程，通过解方法，得到k值。下面老黄介绍一种会“留下一笔糊涂账”的解法，这个解法容易想到，但很复杂。
试解：(1)依题意：4/a^2-1/(a^2-1)=1, 解得：a=根号2或a=-根号2(舍去).【将A点坐标代入双曲线表达式】
所以双曲线的表达式为：x^2/2-y^2=1,
设：l的解析式为: y=kx b，P(p, kp b)，Q(q, kq b),
则(kp b-1)/(p-2) (kq b-1)/(q-2)=0, 【前面是AP的斜率，后面是AQ的斜率，两者的和等于0】
化得：2kpq (b-1-2k)(p q)-4b 4=0，【很明显的，接下来要列一个以p,q为根的一元二次方程，利用韦达定理来解决这个问题】
又当x^2/2-(kx b)^2=1, 【这个方程的根就是C与l交点的横坐标，也就是p和q】
即(1-2k^2)x^2-4bkx-2(b^2 1)=0时,
所以p q=4bk/(1-2k^2), pq=-2(b^2 1)/(1-2k^2)，【代入2kpq (b-1-2k)(p q)-4b 4=0】
-4k(b^2 1) 4bk(b-1-2k)-(4b-4)(1-2k^2)=0,
化简得：(-2k-1-b)(k 1)=0,
解得：k=-1或k=-(1 b)/2.……
显然，后面的解是一笔糊涂账。想要说明它不合理，要花费很多时间。我们可以用不严谨的方法，分析知道它是不合理的。因为如果k被b决定，那么k就有可能取任意实数，显然不合理，至少也会有无数个解，总之肯定不合理。如果b被k决定，那么l是唯一符合条件的直线。但通过作图实践，或者由(2)都可以知道，l并不是唯一的。所以k=-(1 b)/2要舍去。但如果要用严谨的方法分析，很麻烦，又纯粹浪费时间，那怎么办呢？蒙呗！最后一行写成“所以k=-1”，就可以了。但这把刷子始终并不是一把完美的刷子。下面老黄再提供一把完美的刷子，就是活用平移的方法。
解：(1)平移Ｃ，得到曲线C'：(x 2)^2/2-y^2=1, A，P，Q的对应点分别为A’(0,1)，P’，Q’，【平移之后，会使直线A'P’和A'Q'的解析式很容易设，不需要用到两个参数，因为在y轴的截距一定是1. 下面以k表示A'P'的斜率，而非PQ的斜率】
设A’P’: y=kx 1, A’Q’=-kx 1, P’(p,kp 1), Q’(q,-kq 1), 【这里的p,q是P’，Q'的横坐标，而不是P，Q的哦。因为这种解法不需要用到P，Q的坐标，所以直接用p,q表示P’，Q'的横坐标】
当(x 2)^2/2-(kx 1)^2=1, 即(1-2k^2)x^2 (4-4k)x=0时, 【这是求C'和A’P’的交点的方程】
p=(4-4k)/(2k^2-1), 同理q=(4 4k)/(2k^2-1), 【求q则列求C'和A’Q'的交点的方程】
l的斜率为：(kp 1 kq-1)/(p-q)=k(p q)/(p-q)=8k/(-8k)=-1.【注意平移并不会改变直线的斜率，也不会改变角度、线段长、以及图形面积的大小，所以第二小题仍以平移后的情形来求三角形P’A‘Q’的面积，从而得到三角形PAQ的面积。不用这种方法，恐怕会繁琐很多。】
(2)2k/(1-k^2)=2根号2, 就有根号2*k^2 k-根号2=0, 【这里应用了两角差的正切公式，这是一个全世界都承认，唯独某度的某项目组的审核人员不承认的公式：tan(a-b)=(tana-tanb)/(1 tana*tanb)，这里的tana表示A'P'的斜率，记为k，tanb表示A'Q’的斜率，记为-k，k<0. 老黄深深怀疑某度某项目组的审核人员的文化水平，恨意难平啊！】
可得k=-根号2或k=根号2/2(舍去).【为什么舍去后面的根，上面一步的解析中已做说明】
由(1)有p=(4 4根号2)/3, q=(4-4根号2)/3, 【第(1)小题中有求p,q的公式】
A’P’=根号(((4 4根号2)/3)^2 (-(4根号2 8)/3))^2)=根号((48 32根号2)/3)，
A’Q’=根号(((4-4根号2)/3)^2 ((4根号2-8)/3))^2)=根号((48-32根号2)/3)，【运用的都是两点的距离公式，不要继续化简了，那是在浪费时间】
sin∠PAQ=2根号2/根号(8 1)=2根号2/3，
S△PAQ=S△P'A'Q'=A’P’*AQ’sin∠PAQ/2=16根号2/9.
函数图像平移，并不会改变函数性质的本质，所以在解决函数问题时，一定要多尝试运用平移的方法，把函数平移到一个比较适合解决的位置。只有平时多练习平移的运用，考试时才能做到得心应手哦。
,
