前面介绍了矩阵乘法在空间中的几何意义:新向量在i j k压缩和拉伸后的空间中以新的向量形式呈现出来,这就是矩阵乘法要表达的意思。
如图对于拉伸和压缩后的区域面积将如何变幻呢,这就是本篇行列式要解决的问题
如图:i被放大了3倍,j倍被放大了2倍,图形面积就是2X3=6,矩阵表示的是缩放倍数
图中很明显,经过 i j变化后的区域就是单位向量围城区域的6倍
如果我们将区域向右挤压,你可以想象下正方向挤压成平行四边形的情况,面积保持不变。唯一变化的是单位向量(也叫基向量)如图
网格线保持平行且等距,所以你只要知道单位正方向变化的比列,就知道整个空间区域的变换比列
所以行列式的意义就是如图:面积是单位正方向的6倍
面积是单位正方形的3倍
当矩阵代表的行列式等于0时,意味着矩阵表示的变换将空间压缩到更小的维度上,这一点很重要
当行列式为负数时又表示什么呢?我们来看一个连续变换的图形:
当i 渐渐靠近j时空间被压缩
当i 和j时重合时,行列式等于0,空间变换维度最低
当i超过j时行列式很自然等于负数
所以行列式为负数时,表示i j翻转了空间的取向,如图
开始时的方向
旋转后的方向
如图矩阵行列式是-5,表示将单位正方形拉伸了5倍并旋转了一个方向,
行列式计算:a代表在x轴上的伸缩倍数,d代表在y轴上的伸缩倍数
如果i不变,j发生旋转,则形成的平行四边形面积不变
当bc不为0时,bc就会告诉你平行四边形在对角线上拉伸了多少,如图是个非常有趣的模型。
以上就是行列式在二维空间中的模型和计算原理
,