我们知道以下前n项自然数平方和的计算公式:
有很多关于这个公式的证明方法,比如数学归纳法、待定系数法、裂项相消法等。今天介绍两个数形结合的方法。
方法一我们知道前n项自然数的和
于是
这是巧合吗?
把左边平方和拆开,乘法拆成加法,写成
第一行1个数,第二行2个数,第三行3个数,...,第n行n个数,这样一共(1 2 3 ... n)=n(n 1)/2 个数相加。
简记为一张三角形图:
逆时针旋转120°,得到
再逆时针旋转120°,又得到
对上面三个三角形,相同位置处的三个数对应相加,其和恰为定值(2n 1),即:
于是
方法二
立体的看,平方和就是下面所有方块的体积和:
堆起来,就是
类似地,取三堆相同的
然后再堆起来
最上面一层的方块,从中间切开,拼到缺的那部分,就得到一个三边分别为n 1/2,n,n 1的长方体:
于是总体积
当然,第二种方法也可以取6堆,直接拼成一个三边分别为2n 1,n,n 1的长方体。
殊途同归。
最后附赠一个自然数立方和的图解:
来自B站视频ThinkTwice
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