作者 | 靳晓黎
本文导读:
❶ 如下图所示,正方形ABCD和正方形ECGF并排放置,BF和EC相交于点H,已知AB=4cm,EF=6cm,则阴影部分的面积是多少平方厘米?
❷ 如下图所示,正方形ABCD和正方形ECGF并排放置,BF和EC相交于点H,已知AB=4cm,则阴影部分的面积是多少平方厘米?
与上题对比,减少了“EF=6cm”的条件。可以猜想阴影部分的面积与正方形ECGF的边长无关。常规解法是经过两次面积变换:
①:利用同底等高,
②:利用梯形中的蝴蝶模型( BD//CF,参见附部分证明),
直觉思考:
连接AH,则
似乎看起来这样做面积变换比前面的两种解决都快很多,但是这种解法有个前提:A,H,G必须三点共线。
如右图,将ECGF变为长方形后,BF与EC交于点H,AG与EC交于点J,此时A,H,G三点并不共线。
因此需要证明:
正方形ABCD和正方形ECGF并排放置,若BF与EC交于点H,则AG与EC也必交于点H.
证明过程:
在此假设AG与EC交于点H’ ,则根据线段间的比例关系可得:
因为CG=FG,AB=BC,所以HC=H'C,
所以H重H'合,即A,H,G三点共线。
联想:用线段的比例关系很容易证明一个漂亮的结论:
更一般的情形,不需要正方形结构,关系式亦成立。
联想:箭头模型的角度计算
利用外角和公式不难证明,
附:梯形中的蝴蝶定理证明
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