01生活中的√2
我们都知道A4纸的尺寸是210*297mm，但这个数字是如何产生的呢？
在纸张设计者看来，1：1.414是最适合于标准化纸张型号的比例，以A0到A6这个区间来说，A0=841x1189mm面积正好是1平方米，不断将长边对折分割并且不会改变原来的比例关系（A4为折4次得到的纸张），而在这过程中竟不会造成任何的纸张浪费，有着极为强大的实用性。
不知道读者注意到没有，1.414恰好是根号2的近似值。
打印纸的长宽之比是√2，你造吗？
√2是人类最早发现的无理数之一，从毕达哥拉斯学派的希伯索斯发现它到现在已经有2500多年的历史了，这个幸运而又倒霉的小伙子后来被毕氏门徒抛入了大海，因为他的发现与毕氏学派的“万物皆数”相抵触。
公元前3世纪希腊几何学家欧几里得在《几何原本》中第一次给出了“√2是无理数”的完美证明。如果想更多的了解无理数的历史与√2是无理数的证明方法可参考拙作《一位高中数学教师眼中“数的发展史”（二）》。
02向√2逼近的梯子
纸张的长宽之比近似于√2的这些整数是如何得到的呢？
古希腊的毕氏门徒曾经制造了一种梯子，但不是用来登高的，而是用来求无理数√2的近似值的，如下图所示。他们煞费苦心构造向√2逼近的梯子，也许是因为根深蒂固的“比数情节”吧。总以为可以找到两个自然数，使它们的比等于√2。
看到此图我们不禁要问：
首先，梯子左右的两列数是如何生成的？
其次，梯子的同一级上的两数的比值为什么可以向√2逼近？
02.1造梯子的规律
02.2生成数的猜想
我们知道√2的近似值是1.414，这个1.414是怎么的来的呢？它和√2近似到什么程度呢？√2到底是比1.414大，还是比它小呢？
也许我们可以从平方根表上查到的（一不小心暴露年龄了）。也许我们还可以在袖珍电子计算器或者计算机上算出来。但是，不管怎么样，总要有一个可靠的计算方法，才能造出平方根表，才能编出计算机里的程序。
怎么办呢?
艺术家要把一块大理石雕成栩栩如生的人像,不是一下子完成的,他要先砍去一些显然是多余的石头,在这个基础上按计划刻成大体的“人模样”,一次又一次的修整,琢磨,最后才能完成一件精美绝伦的艺术品。
罗马大理石雕塑《索福克勒斯的半身像》,法尔
求√2的近似值,也是这样办的,先找一个粗略的近似值,这比较容易。比方说,1就是√2的粗略近似值。当然,我们不太满意,因为误差|√2—1|太大了。那我们就把1修正一下,比方说加上1/2，得到更好的近似值.再不满意,就再修正一次,这样一次比一次修改得更接近√2，直到清意。这种方法,则做逐次逼近法
在实际工作和理论研究中,绝大多数的数值计算问题,都是用逐次逼近法解决的。计算机是具体实现逐次逼近法的有力工具。
来,我们用逐次逼近法,向√2挺进吧！
首先，√2总是比1大的，比2小的，这就把√2的整数部分定下来了：
1<√2<2, 也就是 √2=1.…
为了确定√2的小数点后的第一位数字，我们可以把（1.1）^2，（1.2）^2，（1.3）^2，
（1.4）^2…相继地算出来，算到（1.4）^2=1.96<2, (1.5)^2=2.25>2时，就不必要继续算下去了，很明显
1.4<√2<1.5,也就是 √2=1.4…
为了再向下求一位，又需要计算（1.41）^2，（1.42）^2，…等等。
这样每算几个数，便可以多知道√2的一位有效数字。进度不快，计算工作量却越来越大。如何简便运算呢？利用不等式的运算规律，可以大大加快计算速度。过程如下：
最终的结果告诉我们，有理数577/408比√2略大一点，误差不超过十万分之一，它是√2的相当好的近似值。用十进制小数表示577/408≈1.41421568…。
其实，√2与577/408之差比十万分之一还要小。因为易知1.5>√2>1.4，故而
这说明√2与577/408之差比二十五万分之一还要小。即误差小于百万分之4,或0.000004.
如果再继续下去的话，我们就可以求出√2的12位有效数字，在平方一次，就达到20位以上的有效数字了。
但是用这种方法来计算，得到的有效数字不是一位一位的增加，而是成倍地增加。
用这种方法我们可以得到部分梯子中的数字，而得不到全部。如何能得到梯子中全部的自然数呢？让我们从“√2是无理数”的图形证法谈起吧！（参考见拙文证法三）
如下图：
在图中的BC和BD之间进行辗转相除为什么永远不能停止。把BD减去BC，剩下一段DE。以DE为边做一个新的小正方形DEFG，那么显然DE=EF=FC（∵△EDF为等腰直角且△BEF≌△BCF）。接下来我们应该在BC和DE间辗转相除。BC就等于CD，CD减去一个DE相当于减去一个FC，就只剩下一段DF了。现在轮到DE和DF之间辗转相除，而它们是一个新的正方形的边和对角线，其比例正好与最初的BC和BD相当。于是，这个操作再次回到原问题，并且无限递归下去。最后的结论用我们的话说就是，不存在一个数x使得BC和BD的长度都是x的整倍数。于是，BD/BC不能表示为两个整数之比p/q（否则BD/p=BC/q，这就成为了那个x）。
如果说这种几何图形的证法有点晦涩难懂的话，把它“翻译”成代数证法就清楚多了：
代数解释一
于是可得p>q>c>a>…,但是，正整数必有最小元的，由此得到矛盾。
代数解释二
这种解释不过是对上述代数解法的另一种重新表述，实质上没有区别。
如图，设ABCD是边长为1的正方形，对角线AC=√2，我们用BC来量AC，在AC上截取CE=BC=1，
于是得 AC=BC AE,
即 √2=1 r1.(r1=AE<1).
第二步用AE来量BC=AB=1，即用r1来量1.注意到△ABC中BC=EC,故若过E作AC之垂线交AB于F,则FB=EF=AE=r1.在AF上截取AG=AE=r1,可见
1=2r1 r2.(r2=GF<r1).
但是，用AE来量AF，这恰巧又是用正方形的边来量它的对角线！因而GF:AE=AE:1，
这是一个永远不会结束的过程。
可以把上述过程改写成下列形式：
如果把上述过程继续下去的话，可以得到一个无穷无尽的式子
也可以不通过几何途径，用代数方法更简捷地得到√2的连分数表示。
把√2表示成连分数有什么好处呢？那就是可以得到√2的最佳近似分数。前面我们得到的一串分数3/2；7/5；17/12；41/29…都是√2的最佳近似分数。不信你可以试试看，能不能找到一个分数，它的分母不超过5，而且比7/5更接近√2？能不能找到一个分数，分母不超过12，它比17/12更接近√2？这个是可以证明的，请有兴趣的朋友自己证证看吧！
从以上的分析我们可以看出，古希腊人得到这个逼近√2的梯子很有可能是通过上述的图形证法的变形，至于真相究竟怎样？估计是个千古都难解的迷吧！
03备受东方人钟情的√2
西方人钟情于1.618这个神奇的数字，中世纪数学家帕乔利将其命名为“神圣比例”；文艺复兴时期天文学家、数学家开普勒称它为数学中的“珍宝”；著名画家达·芬奇称其为“黄金分割”。
东方人则更加钟情于√2这个数字，在宋代李诫和他编著的《营造法式》，全书第一张插图“圆方方圆图”就道尽了其中的奇妙所在。一个圆套方和一个方套圆，这代表着什么含义呢？
宋，李诫《营造法式》全书第一幅插图
“中国美学密码”就是这个比例：1：√2，正方形的边长和它外接圆的直径，或者它对角线的比是1：√2。
宋《营造法式》中多次提到1与根号2的关系，法式卷二总例中有：“方一百其斜一百四十有一”与“圆径内取方一百中得七十一”的规定。
在李诫之前，古代匠人就通过师徒相承、口耳相传的方式流传着“方五斜七”或者“方七斜十”的营造法则，虽不是特别精准，但却是中国美学密码√2的雏形。《营造法式·看详》中，还专门谈到了“用旧例以围三径一，方五斜七为据则疏略颇多”并进行了纠正，将原来的5：7更进一步精确到100:141，规范了建筑设计和施工中的比例问题。
现代学者研究发现，唐宋辽金单檐木构建筑在构图设计上存在一定规律，建筑的柱高和檐高、面宽、进深和柱高之间普遍存在一个1.414:1的比例关系。从这一时期起，中国人对于建筑比例的把握, 早已深入到平面、立面、剖面乃至群体关系与庭院尺度的把握之中去了。
天津蓟县独乐寺山门
天津蓟县独乐寺山门
如今留存下来唐代建筑主要以寺院和佛塔为主，以天津蓟县独乐寺山门为例看1.414比例的应用。
当心间广/檐柱高=610/433≈1.414
檐高/进深间宽=609/438≈1.414
当心间广/进深间宽=610/438≈1.414
当心间间广与檐柱高之比为1.414的情况还广泛存在于山西太原晋祠献殿、浙江宁波保国寺大殿等三开间建筑中。
√2在古代还被应用在音律之中，书法等等之中，此处不再详述。
曾侯乙编钟的黄钟律长9寸，蕤宾律长6.32寸，9/6.32≈1.414。
清，周仪《桃花源记》（小楷）其每个字高和宽之均约为1.414：1。
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