详细介绍通过微分法、泰勒展开法计算sin27°近似值的主要思路和步骤。
方法一：微分法计算∵(sinx)´=cosx
∴dsinx=cosxdx.
则有△y≈cosx△x，此时有：
sinx=sinx0 △y≈sinx0 cosx0△x。
需要注意的是，计算中的△x若是角度要转化为弧度。
对于本题有：
x=27°=30° △x,△x=-0.052。
则：
sin27°≈sin30° cos30°*(-0.052)，
≈sin30° cos30°*(-0.052)，
≈0.455。
注意：本题中取x0为30°，当27°越接近30°时，
近似值精确度越高。
方法二：泰勒公式计算
1.sinx，cosx在x=0处泰勒展开
根据泰勒幂级数展开，有：
sinx=x-x3/3! x5/5!-x7/7! ... (-1)n*x2n 1/(2n 1)!,
cosx=1-x2/2! x4/4! ... (-1)n*x2n/2n!。
其中：n≥0，x为任意实数，即弧度制形式。
2.sinx在x=π/6处泰勒展开
sinx=sin(x-π/6 π/6)
=(√3/2)sin(x-π/6) (1/2)cos(x-π/6)
=(√3/2)∑<n=0,∞>(-1)n*(x-π/6)2n 1/(2n 1)!
(1/2)∑<n=0,∞>(-1)n*(x-π/6)2n/(2n)!
=(1/2)[1 √3(x-π/6)-(x-π/6)2/2!-√3(x-π/6)3/3!
(x-π/6)4/4! √3(x-π/6)5/5!-...]
=1/2 1/2[√3(x-π/6)-(x-π/6)2/2!-√3(x-π/6)3/3!
(x-π/6)4/4! √3(x-π/6)5/5!-...]。
3.当n=1时的近似表达式
sinx
≈1/2 (√3/2)[(x-π/6)-(x-π/6)3/3!]-(x-π/6)2/4
≈1/2 (x-π/6)[(√3/2)-(√3/12)(x-π/6)2-(x-π/6)/4]
≈1/2 (1/12)(x-π/6)[6√3-√3(x-π/6)2-3(x-π/6)]
≈1/2 (√3/12)(x-π/6)[6-(x-π/6)2-√3(x-π/6)]
对于本题：x-π/6=3π/20-π/6≈(-0.052),则：
sin27°
≈1/2 (√3/12)*(-0.052)*(6-(-0.052)2-√3*(-0.052))
≈0.454。
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