欧拉公式多面体找规律（皮克定理与圆环面上的欧拉公式）

作者 | 刘洋洲

来源 | 转自知乎专栏《万物皆数也》，“数学英才”获授权转载，在此感谢！

简介：皮克定理

图1：格点多边形

如图1，设网格边长为1，如何计算图中多边形面积？或许我们会考虑利用割补法来化简计算难度，甚至我们干脆使用勾股定理和余弦定理……但这都不是本文所要探讨的内容。以上例子中所探讨的问题，我们称之为求格点多边形的面积（格点多边形，即多边形顶点位于格点的多边形），我们有专门的计算公式，即——

皮克定理（Pick's Theorem）

其中是格点多边形内部的点的个数，我们简称为内点数，是格点多边形边界点的个数，我们简称为边界点数。

我们随后讨论该定理的证明。观察并欣赏此定理，有几个值得一提的事实：

• 格点多边形的面积只与内点和边界点的数量有关，和多边形具体的形状无关；

• 格点多边形的面积是0.5的整数倍。

皮克定理既实用又富有理论价值。我们不需要余弦定理，只需要简单的计数，就连小朋友都可以得知平面不规则图形的面积。更进一步，我们利用此公式逼近闭曲线围城的面积，从而得到近似值；直观上讲，若网格越是细密，近似值就越精确，这当中蕴含着微积分的思想。

铺垫：欧拉公式

图2：3个洞就是3亏格

使用平面图的欧拉公式证明相对来说比较简洁。刚好我在之前的文章中有证明过平面图的欧拉公式，感兴趣的读者可以阅读《从黄金多面体到欧拉特征》（点击文章题目查看）。我们顺便介绍一个更一般的公式——

可定向闭曲面的欧拉公式

其中，表示有个“洞”的可定向闭曲面，例如图1中的圆环面，它只有一个“洞”，即。“洞”我们有个专有名词——亏格，我们下文仅仅需要用到亏格为的情况。公式中分别表示曲面上剖分的顶点数、棱数、面数。如图3，就是对圆环面的剖分；足球，则是用五边形与六边形对球面剖分。可定向闭曲面欧拉公式揭示了欧拉特征与曲面亏格之间的关系，这是数与形的美妙联系。

图3：矩形剖分

图4

这是我们下面需要用到的引理，我们以列表的形式单独列出来。

亏格	曲面	欧拉特征
0	球	2
1	圆环	0

证明

接下来我会提到两种证明方法。

法一

我们前文关注到格点多边形的面积是0.5的整数倍，这确实是一个很本质的洞见，这是因为——

引理1 如果一个格点三角形内部和边上（除顶点外）都没有格点，则它的面积为.

这个结论可以通过如下结论得到：

引理2 设二阶整数矩阵

若逆矩阵也是整数矩阵，则其行列式必定取值为

所谓行列式，对于二阶矩阵而言形式非常简单：

图5：线性变换将平面上和两个基向量映射为红色、绿色的基向量

证明：我们定义一个线性变换如上图，线性变换将正方形网格变成平行四边形网格，我们假设平行四边形四个顶点也落在整数格点上。显然，这个线性变换存在逆映射，由逆矩阵公式：

而且依条件逆矩阵也是整数矩阵，于是分母必须为：

引理2证毕。

而行列式的几何意义恰恰就是平行四边形的有向面积，即三角形有向面积的2倍。于是，引理1中的三角形面积为

图6：行列式与平行四边形面积

这意味着我们总可以将格点多边形拆分成面积为的小三角形，然后化为平面图，利用平面图的欧拉公式计算即可。我们考虑除去多边形外面的无界区域，设.

顶点数	棱数	面数
n b	(3F' b)/2	2S

这个三角剖分的顶点数是；面数也就是三角形数是；全体棱分两类：一部分是多边形边界上的，一共有条棱（封闭的折线边界上的个顶点就把边界分割成条棱）；一部分是多边形内部的，每条棱都是两个面的交线，每个面有三条棱。计算棱的总数有等式，再加上欧拉公式，就解得

法二

图7体现了第二种方法的证明思路：把格点图形包起来，变成一个圆环面，然后格点就是天然的剖分，借用闭曲面的欧拉公式。

图7：将平行四边形粘接为圆环面

事实上，我们只需证明格点三角形符合公式即可。格点多边形总可以拆为若干格点三角形。多边形两边依照格点重合，则每个边界点重合为个内点，这依然符合公式。

对任意格点三角形，考虑与之翻转对称的另一格点三角形，将两者沿任意一条边粘接，形成平行四边形的面积是原格点三角形的2倍。对该平行四边形两条对边同向粘接，其结果同胚于一圆环面。此时圆环面上的格点诱导出一个正方形网格剖分：原格点是剖分的顶点，临近格点间的连线是棱，正方形格子是面。

设格点三角形的内点个数为，边界点个数. 以下是两三角形粘贴为平行四边形，再粘贴为圆环面的过程：

2个三角形	平行四边形	圆环面
内点	2n	2n x	2n b-2
角点	6	4	0
非角点边界点	2b-6	2b-6-2x	0

：原来个内点始终是内点。设三角形重合边其上有个非角点边界点，重合后，个角点化为平行四边形个角点，非角点边界点损失个，合成的个点转化为圆环面的内点。

：平行四边形所有的边界点化为圆环面的内点——个角点化为个内点，非角点边界点自我重合减半，故而圆环面的顶点个数：

棱数为，因为每条棱对应两个顶点。格子的个数是面数，恰恰是所求的面积的倍，即. 由环面的欧拉公式（亏格）

将上述数据代入计算得：

得证。

尾声

遗憾的是，皮克定理不能直接推广到高维的情况，也就是说：我们不能通过高维格点多面体的内点、边界点而计算其体积。如下图，位于单位正方体内的两个没有内点的四面体，

它们有相同数量的边界点，但是它们的体积却并不相等，前者是，后者是 但是高维格点的研究并没有就此止步，埃哈特(Ehrhart)在1962年将皮克定理推广到高维空间，我们今后有机会为大家介绍。

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