函数y＝1/x的图像想必大家都不陌生吧，它是一个中心对称图形，对称中心是原点(0，0)，也是一个轴对称图形，对称轴是y＝-x。
那么函数y＝1/(x 1)和函数y＝x/(x 1)的对称轴和对称中心呢？
借助绘图工具，可以得出：
1.函数y＝1/(1 x)的对称轴是y＝-x-1，对称中心是(-1，0)
2.函数y＝x/(1 x)的对称轴是y＝x 2，对称中心是(-1，1)
3.函数y＝1/(1 x)的图像与函数y＝x/(1 x)的图像关于直线y＝1/2对称，并且有且只有一个交点(1，0.5)
函数y＝1/(1 x)的对称中心很容易看出来，但是函数y＝x/(1 x)的对称中心就不是那么容易看出来了，当然你可以通过翻折由函数y＝1/(1 x)的图像得到函数y＝-1/(1 x)的图像，再通过向上平移1个单位由函数y＝-1/(1 x)的图像得到函数y＝1-1/(1 x)＝x/(1 x)的图像！
如何证明函数y＝x/(1 x)的对称中心是(-1，1)呢？
假设在函数y＝x/(1 x)上有一点P(x,y)，点P关于点(-1，1)的对称点为点M，要证明函数y＝x/(1 x)的对称中心是(-1，1)，只需要证明点M也在函数y＝x/(1 x)的图像上。
由中点坐标公式，易得点M的坐标为(-2-x，2-y)，并且有:
(-2-x)/(1 (-2-x))＝(2 x)/(1 x) ①
2-y＝2-x/(1 x)＝(2 x)/(1 x) ②
即(-2-x)/(1 (-2-x))＝2-y，即点M在函数y＝x/(1 x)的图像上，得证
根据中点坐标公式的拓展，你能证明：
函数y＝1/(1 x)的图像与函数y＝x/(1 x)的图像关于直线y＝1/2对称吗？
接下来，我们再来看看：
函数y＝2^x/(1 2^x)和函数y＝1/(1 2^x)的图像
可以看出：
1.函数y＝2^x/(1 2^x)的对称中心是(0，0.5)，定义域是R，值域是(0，1)，在区间(-∞， ∞)上是增函数
2.函数y＝1/(1 2^x)的对称中心是(0，0.5)，定义域是R，值域是(0，1)，在区间(-∞， ∞)上是减函数
3.函数y＝1/(1 2^x)的图像与函数y＝2^x/(1 2^x)的图像关于直线y＝1/2对称
因为：
2^x/(1 2^x)＝1/(1 0.5^x)，1/(1 2^x)＝0.5^x/(1 0.5^x)
所以：
拓展：
函数y=0.5^x/(0.5 0.5^x)和函数y=0.5/(0.5 0.5^x)的图像如下：
函数y=e^x/(1 e^x)的图像和函数y＝1/(1 e^x)的图像如下:
总结：
通过中点坐标公式，进一步明白对称中心和对称轴的含义，以及掌握以下4个函数的图像之间的转换关系：
