已知，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，P是AB中点，PM⊥PN。
（1）试确定AM，AC，BN三者数量关系；
（2）在MN延长线取一点Q，使得∠QBC=30°，补齐图形，求证：QB=MC；
（3）在（2）的基础上，∠MNP的平分线交CP于E，若QB=2，MN=(2√21)/3，求PE的长。
（1）不妨以点P为原点，AB为x轴建立直角坐标系，
令AC=a，AM=b，则可得A（-a，0），B（a，0），C（-a/2，√3a/2），
M（b/2-a，√3b/2）
根据坐标点可得直线BC：y=-√3/3x √3/3a
可令点N（x，-√3/3x √3/3a）
可得向量MP（b/2-a，√3b/2），向量NP（x，-√3/3x √3/3a）
∵ MP⊥NP
∴MP*NP =（b/2-a）x √3b/2（-√3/3x 3/3a）=0
解得：x=b/2，y=√3/6(2a-b），即N（b/2，√3/6(2a-b））
则向量NB（b/2-a，√3/6(2a-b））
可求得长度=√3/3（2a-b）
即BN=√3/3（2AC-AM）
（2）
过M作MD垂直AB交于点D，过N作NF垂直AB交于点F，
∵MP垂直NP，∠MPN=90°
∴∠MPA ∠NPB=90°
在△MDP中，∠DMP ∠MPA =90°，可得∠DMP=∠NPB·
∴△MDP∽△PFN
可得MD/PF=MP/PN
由（1）知，MD=√3AD=√3PF
可得MP/PN=√3
∴在Rt△MNP中，∠MNP=60°
在BA上取点Q”,使得BQ”=BQ,连接QQ”,
在四边形NQBQ”中，可知BN垂直平分QQ”
则∠BNQ=∠BNQ”，NQ”=NQ,
在Rt△BNF中，∠FNQ” ∠BNQ”=60°
∠PNQ=120°，
∴∠PNF ∠BNQ”=60°，
∴∠PNF=∠FNQ”
可得△PNF≌△FNQ”，
则PF=FQ”，
QB= Q”B =PB-PQ”=AC-2PF=AC-2AD=AC-AM=MC
即证明。
3）
已知MC=QB=2，MN=2√21/3，则PN=√21/3，MP=√7，PG=√7/3
由MC=2，MN=2√21/3,可得CN=4√3/3
Cos∠CNP=(CN^2 NP^2-CP^2)/(2*CN*NP)
Cos∠CMP=(CM^2 MP^2-CP^2)/(2*CM*MP)= Cos（180°-∠CNP）=- Cos∠CNP
解得CP=3，
根据正弦定理可知
GE/(sin∠CPM)=PE/(sin60°)=GP/(sin（120°-∠CPM）)
可知cos∠CPM=√7/7，则sin∠CPM=√42/7
可得PE=7/（3 3√2）
,
