本文为“2022年第四届数学文化征文活动
读《古今数学思想》有感
作者 : 高翔
作品编号：060
莫里斯·克莱因的《古今数学思想》是一套数学思想与数学史的经典名著，克莱因是著名应用数学家、数学史家、数学教育家、数学哲学家和应用物理学家。《古今数学思想》无疑是数学史的鸿篇巨著，共分三册，洋洋百万余言，从数学的混沌初开——古埃及与古巴比伦时代，讲到20世纪的前半叶，时间跨度三千多年。如果您对数学思想与数学史感兴趣，相信这套《古今数学思想》绝对会给您想要的震撼。
数学概念的创造、数学理论的发展和数学思想的进化，是一种自然而然、逐步深化的过程，在《古今数学思想》中大致将数学的历史分为了如下六个阶段。
1. 混沌初开——古文明时期的数学起源
（1）尼罗河水患后丈量土地的需要，客观上促使古埃及人创立了早期的几何学。
（2）计数与记数系统在古巴比伦的蓬勃发展，催生了早期的代数学。
2. 科学之源——古希腊时代的数学
现代科学与哲学的源头都可以追溯到两千多年前的古希腊时代，数学也不例外。
（1）毕达哥拉斯学派“万物皆数”的哲学思想，开创了对世界本原抽象化的思考。
（2）欧几里得的几何学集大成之作《几何原本》不但使得“神圣几何”的崇高信仰深入人心，还为后世数学与科学的发展奠定了“公理化”的范式。
（3）“数学之神”阿基米德在人类历史上第一次计算出了球的体积公式，其看家本领“无穷小分析”本质上就是微积分的雏形。
（4）丢番图的《算术》在几何学一统天下的古希腊时代为代数学埋下了一颗即将萌发的种子。
3. 缓慢探索——中世纪的数学
（1）东方的印度和阿拉伯继承了古希腊的数学传统，在中世纪扛起了数学发展的大旗，尤其值得称道的是由印度人发明、阿拉伯人传播的阿拉伯数字风靡了世界。
（2）古代中国天人合一的哲学思想将数学、天文与科学有机融合在一起，而基于问题驱动的算法系统是古希腊公理化系统之外新的数学范式。
4. 英雄时代——文艺复兴时期的数学
（1）代数方程理论的发展是数域扩充的不竭动力，从自然数到整数、从有理数到实数、从复数到四元数，人类对数的认识在不断的颠覆与重建。
（2）笛卡尔与费马的解析几何成功实现了“数”“形”结合，至此双剑合璧、天下无敌。
（3）牛顿与莱布尼茨继承了阿基米德的思想，发明的微积分使得变量数学登上了舞台，从此数学的发展步入了快车道。
（4）在赌博中诞生了早期的概率论，在确定性的背后中添加了一抹随机的色彩。
5. 群星璀璨——近代的数学
这个时代无疑是数学发展的黄金时代，数学史上那些灿若星辰的伟大名字，大都生活在这个非凡的时代，他们为后世的数学奠定了原创性的思想和观念。至此纯粹数学的三大分支——分析、代数与几何三足鼎立的格局悄然形成。
（1）分析学
（i）在欧拉、达朗贝尔、拉格朗日、拉普拉斯、傅里叶等数学家的努力下，微积分与微分方程的方法渗透到了科学的各个领域，就像一把无所不能的宝剑披荆斩棘、勇往直前。
（ii）雄伟的微积分大厦需要更加坚实的基础，以实数理论为代表的分析严密化在柯西、戴德金、康托、魏尔斯特拉斯的手中成为现实。
（2）代数学
（i）一元n次方程的根式求解问题促使了年轻的数学天才阿贝尔和伽罗瓦建立了近世代数（抽象代数），也启发了库默尔将初等数论拓展到了代数数论。
（ii）狄利克雷和黎曼接过了欧拉和高斯的衣钵，将复变函数应用于数论的研究，创立了解析数论。
（iii）线性代数的创立使得微积分有了坚实的伙伴，给出非线性问题线性化之后精确的数学逻辑。
（3）几何学
（i）对“欧几里得第五公设”的研究使得高斯、鲍耶、罗巴切夫斯基和黎曼意识到除了欧氏几何外还有新的几何学——非欧几何学的存在。
（ii）黎曼基于流形概念创立的黎曼几何与克莱因提出的“埃尔朗根纲领”无疑是近代几何学的集大成之作。
6. 学科云集——现代的数学
20世纪的现代数学，其显著特征就是新的数学分支大量涌现，整个数学体系极其庞大、蔚为壮观。
（1）1900年“数学的亚历山大”希尔伯特在第二届国际数学家大会上提出的23个数学问题为20世纪数学的发展指明了方向。
（2）与之齐名的“数学的莎士比亚”庞加莱对自守形式、复变函数论、代数拓扑、微分方程定性理论和数论的研究，引领了20世纪主流数学的发展。
（3）希尔伯特的传人外尔毕生追求“真”与“美”，致力于将数学和物理有机融合，所开创的U（1）规范场理论深刻的刻画了电磁场的对称性，为杨-米尔斯规范场乃至粒子物理的标准模型打开了大门。
（4）“代数学的女王”诺特将近世代数进一步完善成一套完整的理论体系，其关于对称性与守恒律之间对应的深刻洞察触摸到了最底层的自然规律。
（5）如果说抽象代数是代数学的集大成之作的话，那么巴拿赫开创的泛函分析无疑是分析学的集大成者，作为线性代数的无穷维版本，将变分法、微分方程、积分方程、函数论以及量子力学容纳其中。
（6）“计算机之父”冯•诺依曼以泛函分析为基础建立了量子力学的数学基础，他还是博弈论和计算机理论的奠基人。
（7）现代代数几何的开创者格罗滕迪克通过引入概形使代数几何学还原为交换代数学，还发展了平展上同调、L进上同调与动形理论，他是当之无愧的“代数几何的上帝”。代数几何领域作为数学的最高奖——菲尔兹奖的宠儿，有这样一句名言：“代数几何王者辈出（菲尔兹奖得主），但上帝只有一个——亚历山大•格罗滕迪克。”
由此可见，《古今数学思想》内容全面、逻辑严谨，不但对数学的来龙去脉交代得清晰明了，还特别着重于主流数学工作以及第一手资料的旁征博引。全书以著名数学家的贡献为题材，以对数学本身的看法随时间演变的历程为线索，使读者受到数学之大之美的熏陶，实属难得一见的数学精品。
7. 走向统一——当代的数学
当然《古今数学思想》由于作者克莱因所生活年代所限，对当代数学（即20世纪后半叶至今的数学）并没有做过多的介绍。那么当代数学的主要特色是什么呢？简而言之四个字——走向统一。众所周知，物理学的发展、物理思想的进化便是一条由浅入深、逐步深化的“统一之路”，物理学经历了若干次重要的统一节点，每次统一都建立起来了蔚为壮观的物理学大厦。
那数学是遵循何种统一之路呢？根据法国著名的布尔巴基学派的观点：数学是研究数学结构的学科，所谓的数学对象只不过是附加了数学结构的集合。基本的数学结构有代数结构、拓扑结构和序结构。布尔巴基学派的结构主义是数学的内功心法，结构就是数学统一的线索。
（1）将各种结构有机结合，研究结构交叉得到的新的数学对象，比如将微分结构和群结构结合得到的李群。
（2）以问题和猜想为导向来构造新的结构，比如对丢番图方程的研究促进了对椭圆曲线的群结构与对应模形式的研究。
（3）研究不同数学结构之间的关联和对应关系，比如被誉为“数学大统一理论”的朗兰兹纲领和菲尔兹奖得主孔涅的非交换几何。
还有一种统一是数学与物理的统一，正如数学王子高斯所说的：“数学是自然科学的女皇……”事实上在数学和物理学的发展史上，确实有像分析的严密化这类纯粹靠逻辑推动的研究，但总体来说，合大于分的统一是数学和物理学关系的主旋律，这在20世纪以来尤其如此。
（1）经典力学中的核心——牛顿第二定律，从数学观点来看就是一个二阶常微分方程（组）。
（2）电、磁和光的基础——麦克斯韦方程组，从数学的观点去看，就是一阶线性偏微分方程组。
（3）爱因斯坦最伟大的贡献——广义相对论，在数学中对应黎曼几何。
（4）现代物理学的另一大支柱——量子力学，在数学中对应泛函分析。
（5）如果去审视现代物理，比如说杨-米尔斯规范场理论，这最终可以导出粒子物理的标准模型，从数学上看就是纤维丛理论。
（6）抽象代数中的群论，是刻画对称性最好的工具，在规范场论、凝聚态物理、超弦理论等现代物理学的各个分支中都有重要应用。
（7）包罗万象的弦理论所对应的，也是整个现代数学。在弦理论学家的启发下，一些困扰数学家许多年的老大难问题得到了完美的解决。难怪有人形容弦理论学家像来自于未来失意的人，只记住了数学证明的只言片语。
如果我们把世界分成现实世界和数学世界，如果说现实世界的规律是物理学的话，数学世界的规律便是数学。数学与物理学的统一从映射的角度看，就是所建立的从现实世界到数学世界里的映射，至于是不是一一映射，乃至同构或者同胚，就不得而知了。
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