这是《机器学习中的数学基础》系列的第9篇，也是微积分的第2篇。
今天我们来介绍导数，不过在此之前，还是来看看标题中的问题：瞬时速度到底是个怎样的存在？
假设有一辆汽车从A点出发到B点停下，那么我们可以画出这段时间内汽车速度变化的图像：
如图，横轴是时间t，纵轴是速度v，我们现在想知道t’时刻的瞬时速度是多少呢？
从微积分上来说，“瞬时速度”这个概念是没有意义的。假如我给你拍一张某时刻汽车的照片，你能告诉我此时汽车的速度是多少吗？在没有任何参照物的情况下，是不可能知道的。但是，我们又可以把速度与时间的图像画出来，好像又可以知道某时刻的瞬时速度。这到底是咋回事呢？
我们还是从速度的定义上出发，速度=距离/时间。我们所说的速度，永远是某个时间段内走过的距离除以这个时间段而得到。也就是说，无论这个时间段多么小，得到的永远是这个时间段内的“平均速度”。那汽车仪表盘上显示的速度是什么呢？我们来画个图表示下：
上图画的是汽车从A点到B点的行驶距离s与时间t的图像。如果我们想求t'点的速度，我们实际是怎么做的呢？我们先在t'的右边找到一个很小的时间段△t，汽车在这段时间内行驶的距离是△s，我们就把t'的速度v近似为平均速度△s/△t。当△t足够小时（趋于0时），可以认为t'的瞬时速度v就是△s/△t。其中，△s=s(t' △t)-s(t')。因此，我们可以表示为：
我们就把（1）式叫做s在t'处的导数，其中△t→0。
既然知道了定义，就来实战一下吧。假设我们有一个函数f(x)=x²，如何求该函数上任意一点的导数呢？根据定义，我们有
展开，可得
上下约分，就得到
当△x→0时，f'(x)=2x。因此，f(x)=x²的导数就是2x。
更一般地，我们有
好了，这就是今天的全部内容。欢迎留言讨论。
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