单墫博士是数学界的前辈,推荐过两本五十年代发行的课外辅导书《因式分解》(刘尼 著)和《几何定理和证题》(许莼舫 著)。这两本书写得很好,对学生时代的单墫影响很大,多年以后仍然记忆犹新。
对于现在的教材有什么感觉?我想去KTV唱《一言难尽》,如果得到一本好的教材,我想去KTV高歌一曲《一生何求》。
今天的主题是两道有关正五角星的几何计算题,读者可以从中领略数学史家许莼舫先生的名家风采。
下面请看《许莼舫初等几何四种》的重印说明:
许莼舫氏著《几何定理和证题》、《几何作图》、《轨迹》、《几何计算》四本初等几何学习参考书,在无产阶级文化大革命前作为初中学生课外补充读物,曾多次印行。现在中学数学教材已经改革,这四本书作为配合教学的读物,已不适用。但鉴于这四本书讲解初等几何基本知识,对一般青年学习初等几何,还有一定参考价值,许多青年读者和中学教师也纷纷来信要求重版,由于作者已于文化大革命前夕因病去世,不能再作修订,爰照旧版重印,合订一册,改用现在这个书名。
中国青年出版社
1978年8月
《几何计算》
作者的話有些中学同学在学习平面几何学的时候,由于对基本概念了解得不够清楚,对定理和法則即使都明白也还不会灵活运用,因而难于获得良好的学习成果。作者因为有这样的感觉,才编写了这一套小书。这套书分“几何定理和证题”、“几何作图”、“轨迹”和“几何計算”四册。内容主要是:(1)帮助同学们透彻了解教科书里的材料;(2)把这些材料分类和总结指导同学们怎样去运用,从而掌握解题的正确方法;(3)举示多量例题,对同学们作出较多的引导和启示,借此收到观摩的效果;(4)提供一些补充材料,使同学们扩大眼界,充实知识,提高理论基础,为进一步学习创造有利条件。
本书在第一章里面,详细介紹了许多基本的知识,使同学们对几何量有一个彻底的认识。再详示解計算題的步骤和应行注意的事项,使同学们在实际解题时可以一丝不乱,免除错误。
关于几何量的可通约和不可通约的两种情况,以及几何比例基本定理对这两种情况的普遍适用,是同学们很难理解得,本书特地作了浅显的讲解,用实例說明了极限的定理,借此把几何计算的理论基础打好,以便和实际联系起来。
从第二章起,分类把各种几何計算作系统的讲述,尽量把重要定理译成简明的公式,并多举范例,启示思考的过程,培养运用定理的能力。关于几何计算在日常生活和测量上的应用,特地另举了一些范例和研究题,并且还介绍了几个中国古代的几何计算题,可以增加学习兴趣。
本书在编写时虽经仔细斟酌,但错误之处还恐难免,希望读者多多批评和指正。
许莼舫
一、基本知识
1.1 什么是几何计算题有这样一个问题:
“正五角星形的五个顶角各是多少度?”
所謂正五角星形,就是我們中华人民共和国的国旗上的标帜,同学们对它都是非常热爱的。
关于正五角星形的性质,在“几何作图”一书里已经讲到了一些,如果你读过那本书,对正五角星形的性质一定都很熟悉;上举的问题也就不难解答了。
要解决上举的问题,必须先知道正五角星形是从一个正五角形的五条对角线所围成的,其实是一个“凹十角形”。它有十条相等的边——AF , FB , BG , GC , CH 等;五个相等的“顶角”——∠JAF , ∠FBG 等;五个相等的“叉角”——∠AFB , ∠BGC 等.它同正五角形一样,也有一个外接圆,各顶点分这外接圆成五等分。从这些性质,以及我们以前学过的许多几何定理,就可以用下举的两种解法,来求正五角星形的顶角的度数。
解法一 因〖弧CD〗是全圆周的五分之一,所以
〖弧CD〗 =1÷5×360°=72°.
又因∠JAF 是〖弧CD〗所对的圆周角,从圆周角的定理,知道这一个角可以拿½〖弧CD〗来度它,所以
∠JAF =½×72°=36°.
同理,其他的各顶角也都是36°.
解法ニ 从三角形的外角定理,知道
∠AJF = ∠B ∠D (为便利计, ∠FBG 简称 ∠B ,以下同)
∠AFJ = ∠C ∠E.
但又从三角形的内角定理,得
∠A ∠AJF ∠AFJ =180°,
∴ ∠A ∠B ∠C ∠D ∠E =180°.
又因正五角星形的五个顶角都相等,所以
5∠A=180°, ∠A =36°.
其余同理。
注 从上举的解法,我們知道要求图中其他各角的度数,都很容易。像∠BAF , ∠ABF 等都是36°, ∠AFJ , ∠AJF 等都是72°, ∠AFB , ∠BGC 等都是108°.图中所有的一切角,除掉大于180°的优角外,不出这三种度数。这三种度数——36°,72°,108°——恰巧顺次成为一串“等差级数”.
问题升级讲过了这一个问题的解法,我們为了要对这可爱的正五角星形作更进一步的认识,这里再提出如下的一个新问题:
“已知正五角星形中相邻两顶点的距离是2寸,求(1)边长;(2)相邻两叉点的距离——JF , FG 等;(3)相对两顶点的距离—— BE , AC 等”。
要解决这一个问题,必须进一步认识前图中所有的一切三角形都是等腰三角形。在这些等腰三角形中,顶角是36°,底角是72°的有二十个,它们都相似,其中的△AFJ 等的五个全等, △ACD 等的五个全等, △ABG 等十个全等;顶角是108°,底角是36°的有十五个,也都相似,其中的△ ABF 等五个全等,△ ABE, △HBE 等十个全等。
从“相似三角形的对应边成比例”的定理,注目 △BAJ 和△AJF,得
BA : AJ = AJ : JF .
因 BA = BJ , AJ = BF ,代入上式,得
BJ : BF = BF : JF ..........(i)
又注目 △ABE 和△ FAB ,得
BE : AB = AB : FA .
因 AB = BJ , FA = JE ,代入上式,得
BE : BJ = BJ : JE ..........( ii).
上举公式( i )所表示的是线段 BJ 被 F 点所分,其中的长线分 BF 是短线分 JF 和全线 BJ 的比例中项,我们称做线段 BJ被 F 分成“外中比”。同理,公式( ii )所表示的是线段 BE 被 J 分成外中比。
注 前图中所有的一切线段,不出四种長长度,最长的像 BE , AC 等五条,可简称做“对顶距”,用 a 表示;较短的像 AB , BC 等,可简称做“邻顶距”,连同相等的BJ,AG 等共计十五条,都用 b 表示;更短的像 BF , JE 等十条是边,用 c 表示;最短的像JF , FG 等五条,可简称做“邻叉距”,用 d 表示。因为从(i)和( ii)知道
a : b = b : c = c : d ,
所以这四种长度顺次恰成一串“等比级数”。
根据这些性质,可用下法解前举的新问题:
解 设边长BF = x 寸,因已知BJ= AB =2寸,所以 JF =(2一x)寸。根据公式(i)得比例式 2:x=x:2-x
化为等积式,移项,得二次方程式
x² 2x-4=0
解得
x=(-2±√(4 16))÷2=(-2±√20)÷2=(-2±2√5)÷2=-1±√5.
因负值不适用,故得边长是-1 √5≈-1 2.236=1.236寸。邻叉距是
2-1.236=0.764寸。
又设对顶距 BE = y寸,因已知BJ=AB=2寸,故JE =(y-2)寸。根据公式(ii),得比例式
y :2=2:y-2.
化为等积式,再移项,得
y²-2y-4=0
解得
y=(2±√(4 16))÷2=(2±2√5)÷2=1±√5
同前,得对顶距是1 √5≈1 2.236=3.236寸。
在上面所述的兩个問題中,所有的角、弧和线段,都是有大小可以度量的,叫做几何量。我們要度量一个几何量,必须先取一适当的同类量做单位——像“度”“寸”等,用这单位来量欲测的几何量,看它含这单位量的多少倍。这倍数就是欲测的量对于单位量的比值,叫做“該量的测度”。例如线段的单位用寸,假使一线段的大小是1寸的2倍,就是这线段对于1寸的线段的比值是2,那末这线段的测度就是2。
有些几何图形,可以根据已知的性质或几何定理,求出其中的某些几何量的测度,像前举的第一問題就是。又有些几何图形,必须有一部分几何量的测度为已知,才能根据已知的性质或几何定理,求出另一部分的测度,像前举的第二问题就是。这样的两种问题,都是几何学中的计算题。
同学们都知道,几何定理就是关于各种几何图形的性质的叙述。古代的劳动人民,为了在生产实践中必须计算各种几何量,像定方向,测高深,求地积等,于是发现了许多几何定理。可见几何学是在生产条件下发生和发展的,它最初是从积累起来的丰富的实际经验中总结出几何定理,接着再用理论方式加以证明,最后又拿来供给实际的应用,是理论和实际密切结合的。我們学习几何计算题,可以把已经学习的几何定理联系到实际上去,便学用一致的教育目标更具体,更明确起来。
解計算題要用哪些定理
在上节解兩个几何計算題时,要根据下列的許多几何定理:
(1)圓周角拿所对的弧的一半来度它。
(2)三角形三内角的和是二直角。
(3)兩个三角形的兩組角彼此分別相等,那末两三角形相似。
(4)相似三角形的对应边成比例。
..............................................................................
这許多定理都是关於几何量的比較,就是量的相等和不等。初等几何所研究的圖形性質,多数是关於量的比較,以及从此推得的其他情形,像直的平行和垂直之类。这些性質,都和度量有关,叫做““圖形的度量性”。
另外还有許多几何定理,是研究諸线或諸圓共点,諸点共线或共圓等性質的,这些只是表示点、线、圓等相互間的位置关系,和度量無关,叫做““圖形的非度量性”。
凡是关於圖形的度量性的定理,在解几何計算题时一定要用到,所以我們要想掌握各种計算題的解法,首先必須熟習......
(以下略)
读后感
结论:已知AB=BJ=2,求解得:
AC=BE=a=对顶距=y=3.236
AB=BC=b=邻顶距=2
BF=JE=c=边=x=1.236
JF=FG=d=邻叉距=0.764
上图的正五角星包含两类黄金三角形:黄金三角形都是等腰三角形,一类的顶角是36°,另一类的顶角是108°.
黄金三角形的有趣性质很多,读者可以参阅下面的链接https://m.toutiao.com/is/2ngk4EX/?=等腰三角形的趣题赏析 - 今日头条
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