为什么那么努力的学数学还是不见起色?你应该明白数学学习的不仅是学习数学知识，更多是要求我们不断归纳反思求解问题的思路，力求形成解题模式模型。著名科学家钱学森先生说："模型就是通过对问题现象的分解，利用我们考虑得来的原理吸收一切主要的因素，略去一切不主要的因素，所创造出来的一副图画……"。模型其实就是一种最简化的图形，在学习中它是由最小的知识模块和操作方法组成，模型解题就是：用最简单的模块对应的规律去解决各种各样的问题。为了让让同学们的复习工作更高效精准，特数学模型化研究和提炼和研究，本文主要抽取和探索共顶点三条线段的数学模型---三爪图模型及其问题求解策略。
模型介绍：爪子模型：共顶点引发的三条（多）条线段。解题策略有如下两个：
解题策略1：构造辅助圆
例1．如图，四边形ABCD中，AB＝AC＝AD，且∠CAD＝3∠BAC，若∠DBC＝42°，则∠CAD＝_____ ，∠BDC＝____ ．
【分析】由AB＝AC＝AD可知点B，C，D在以A为圆心的圆上，根据圆心角和圆周角的关系即可求得．
【解答】∵AB＝AC＝AD，
∴点B，C，D在以A为圆心的圆上，
∵∠DBC＝42°，∴∠CAD＝2∠DBC＝84°，
∵∠CAD＝3∠BAC，∴∠BAC＝1/3∠CAD＝28°，
∵∠BDC＝1/2∠BAC，∴∠BDC＝1/2×28°＝14°．
故答案为：84°，14°．
例2.在四边形ABCD中，DC∥AB，BC＝1，AB＝AC＝AD＝2，则BD长为______．
【分析】以A为圆心，AB长为半径作圆，延长BA交⊙A于F，连接DF．在△BDF中，由勾股定理即可求出BD的长．
【解答】以A为圆心，AB长为半径作圆，延长BA交⊙A于F，连接DF．
∵AB＝AC＝AD＝2，∴D，C在圆A上，
∵DC∥AB，∴弧DF＝弧BC，
∴DF＝CB＝1，BF＝AB AF＝2AB＝4，
∵FB是⊙A的直径，∴∠FDB＝90°，
∴由勾股定理可求得BD＝√15，
故答案为：√15．
例3. 如图，在正方形ABCD外侧作直线DE，点C关于直线DE的对称点为M，连接CM，AM．其中AM交直线DE于点N．若45°＜∠CDE＜90°，则当MN＝4，AN＝3时，正方形ABCD的边长为（ ）
A．√7 B．5 C．5√2 D．5√2/2
解析：如图2，连接DM，由于点C,M关于直线DE对称，故直线DE垂直平分线段CM，
因而DC=DM，由四边形ABCD是正方形，故DA=DC=DM,即点A、C、M到点D的距离相等。根据这一鸡爪模型特性，我们想到构造以D为圆心，DA为半径画圆，则点C、M必在⊙D上，由∠ADC＝90°,易得∠AMC＝45°，连接CN，则CN=MN=4，故∠MCN=∠AMC＝45°,从而∠ANC＝90°,连接AC，不难求出AC=5，AB=5√2/2， 故选D.
点评：随着直线DE位置变化，点M的位置也在变化，但它一定在以点D为圆心，DA的昌为半径的圆上，这就是运动变化中的不变关系。解决这类问题的关键是抓住"点A、C、M到点D的距离相等"这一特征，但这个特征往往比较隐蔽，不易发现，要综合考虑本题中的所有条件，而且要有一定的洞察力和解题经验。
【常规解法】如图所示，连接CN、DM、AC，
∵点C关于直线DE的对称点为M，
∴CN＝MN，CD＝DM，
∴∠NCM＝∠NMC，∠DCM＝∠DMC，∴∠DCN＝∠DMN，
在正方形ABCD中，AD＝CD，
∴AD＝DM，∴∠DAM＝∠DMN，∴∠DCN＝∠DAM，
∵∠ACN ∠CAN＝∠BCD﹣∠DCN ∠CAD ∠DAM＝∠BCD ∠CAD＝90°，
∴∠ANC＝180°﹣90°＝90°，
∴△ACN是直角三角形，∴由勾股定理可求得AC＝5，
∴正方形ABCD的边长＝√2/2AC＝5√2/2．故选：D．
解题策略2：实施旋转变换
当三条线段不等时或题目隐含等边时，遇多少度旋转多少度，构造手拉手模型（全等或相似）来解决问题。
例4．已知：P是边长为1的正方形ABCD内的一点，求PA PB PC的最小值．
【分析】顺时针旋转△BPC60°，可得△PBE为等边三角形，若PA PB PC＝AP PE EF要使最小只要AP，PE，EF在一条直线上，求出AF的值即可．
【解答】顺时针旋转△BPC 60°，可得△PBE为等边三角形．
即得PA PB PC＝AP PE EF要使最小只要AP，PE，EF在一条直线上，
即如下图：可得最小PA PB PC＝AF．
此时∠EBC ∠CBP＝∠FBE ∠EBC＝60°＝∠FBC，
所以∠ABF＝90° 60°＝150°，∠MBF＝30°，
BM＝BF•cos30°＝BC•cos30°＝√3/2，MF＝1/2，则AM＝1 √3/2，
在△AMF中，勾股定理得：AM² MF²＝AF²,
该题所求的点P实际上是费马点,而费马点的证明实际上是几何中图形旋转的典型应用,思考以下几个问题:
①为什么要把∆BPC顺时针旋转60°,旋转∆APB可以吗?
②.如果把题中的正方形ABCD改为Rt∆ABC,点P为动点可以吗?
③你能总结点P的特征是什么吗?它唯一吗?
④P为任意∆ABC内一动点,当PA PB PC取得最小值时,
∠APB=∠BPC=∠CPB=120°,这句话对吗?
⑤在本题中你能尺规作图找到点P吗?
⑥在本题的计算部分需要二次根式的开方,有什么技巧吗?
例5.如图4是A，B，C三个村子位置的平面图，经测量AC＝4，BC＝5，∠ACB＝30°，P为△ABC内的一个动点，连接PA，PB，PC．求PA PB PC的最小值．
分析:如图，先由旋转的性质得出△APC≌△EDC，则∠ACP＝∠ECD，AC＝EC＝4，∠PCD＝60°，再证明∠BCE＝90°，然后在Rt△BCE中，由勾股定理求出BE的长度，即为PA PB PC的最小值；
【解答】如图，将△APC绕点C顺时针旋转60°，得到△EDC，连接PD、BE．
∵将△APC绕点C顺时针旋转60°，得到△EDC，
∴△APC≌△EDC（旋转的性质），
∴∠ACP＝∠ECD，AC＝EC＝4，∠PCD＝60°，
∴∠ACP ∠PCB＝∠ECD ∠PCB，
∴∠ECD ∠PCB＝∠ACB＝30°，
∴∠BCE＝∠ECD ∠PCB ∠PCD＝30° 60°＝90°，
在Rt△BCE中，∵∠BCE＝90°，BC＝5，CE＝4，
∴由勾股定理可求得BE＝√41，
即PA PB PC的最小值为√41；
例6.如图，在等边三角形ABC中，点P在△ABC内，且∠APC＝90°，∠BPC＝120°，猜想PA，PB，PC三条线段之间有何数量关系，并说明理由．
【解答】结论：PA² PB²＝PC²．
理由：证法一：如图，将△APC绕点A按顺时针方向旋转60°，得到△AP′B，连接PP′．
∴△APP′是等边三角形，∠AP′C＝∠APB＝360°﹣90°﹣120°＝150°，
∴PP′＝AP，∠AP′P＝∠APP′＝60°，∴∠PP′B＝90°，∴PP′² P′B²＝P′B²，
∵PP′＝PA，CP＝P′B，∴PA² PB²＝PC²．
证法二∵将△APB绕点A按逆时针方向旋转60°，得到△AP′C，连接PP′．
∴△APP′是等边三角形，∠AP′C＝∠APB＝360°﹣90°﹣120°＝150°，
∴PP′＝AP，∠AP′P＝∠APP′＝60°，
∴∠PP′C＝90°，∴PP′² P′C²＝PC²，
∵PP′＝PA，CP′＝PB，∴PA² PB²＝PC²．
第6题的变式，如图，在等边三角形ABC中，AC＝，点P在△ABC内，且∠APC＝90°，∠BPC＝120°，求△APC的面积．
【解答】 如图，∵将△APB绕点A按逆时针方向旋转60°，得到△AP′C′，
∴△APP′是等边三角形，∠AP′C＝∠APB＝360°﹣90°﹣120°＝150°，
∴PP′＝AP，∠AP′P＝∠APP′＝60°，
∴∠PP′C＝90°，∠P′PC＝30°，∴PP′＝√3/2PC，即AP＝√3/2PC，
∵∠APC＝90°，∴AP² PC²＝AC²，
即（√3/2PC）² PC²＝（√7）²，∴PC＝2，∴AP＝√3，
∴S△APC＝1/2AP•PC＝1/2×√3×2＝√3；
例7．如图，某货运场为一个矩形场地ABCD，其中AB＝500米，AD＝800米，顶点A，D为两个出口，现在想在货运广场内建一个货物堆放平台P，在BC边上（含B，C两点）开一个货物入口M，并修建三条专用车道PA，PD，PM．若修建每米专用车道的费用为10000元，当M，P建在何处时，修建专用车道的费用最少？最少费用为多少？（结果保留整数）
【分析】先确定出最小值时的位置，当M，P，P1，D1在同一条直线上时，AP PM DP最小，最小值为D1N，再用等边三角形的性质计算．
【解答】如图，连接AM，DM，将△ADP绕点A逆时针旋转60°，得△AP′D′，
当M，P，P′，D′在同一条直线上时，AP PM DP最小，最小值为D′N，
∵M在BC上，∴当D′M⊥BC时，D′M取最小值，
设D′M交AD于E，∵△ADD′是等边三角形，∴EM＝AB＝500，
∴BM＝400，PM＝EM﹣PE＝500﹣400√3/3，
∴D′E＝√3/2AD＝400√3，∴D′M＝400√3 500，
∴最少费用为10000×（400√3 500）＝1000000（4√3 5）万元；
∴M建在BC中点（BM＝400米）处，点P在过M且垂直于BC的直线上，且在M上方（500﹣400√3/3）米处，最少费用为1000000（4√3 5）万元．
例8.①如图，菱形ABCD中，∠ABC＝60°，在菱形ABCD内部有一点P，请在图3中画出并指明长度等于PA PB PC最小值的线段（保留画图痕迹，画出一条即可）；②若①中菱形ABCD的边长为4，请直接写出当PA PB PC值最小时PB的长．
【分析】①将△APC绕点C顺时针旋转60°，得到△DEC，连接PE、DE，则线段BD即为PA PB PC最小值的线段；
②当B、P、E、D四点共线时，PA PB PC值最小，最小值为BD．先由旋转的性质得出△APC≌△DEC，则CP＝CE，再证明△PCE是等边三角形，得到PE＝CE＝CP，然后根据菱形、三角形外角的性质，等腰三角形的判定得出BP＝CP，同理，得出DE＝CE，则BP＝PE＝ED＝1/3BD．
【解答】①将△APC绕点C顺时针旋转60°，得到△DEC，连接PE、DE，
则线段BD等于PA PB PC最小值的线段；
②如图，当B、P、E、D四点共线时，PA PB PC值最小，最小值为BD．
∵将△APC绕点C顺时针旋转60°，得到△DEC，
∴△APC≌△DEC，∴CP＝CE，∠PCE＝60°，
∴△PCE是等边三角形，∴PE＝CE＝CP，∠EPC＝∠CEP＝60°．
∵菱形ABCD中，∠ABP＝∠CBP＝1/2∠ABC＝30°，
∴∠PCB＝∠EPC﹣∠CBP＝60°﹣∠30°＝30°，
∴∠PCB＝∠CBP＝30°，∴BP＝CP，
同理，DE＝CE，∴BP＝PE＝ED．
连接AC，交BD于点O，则AC⊥BD．
在Rt△BOC中，∵∠BOC＝90°，∠OBC＝30°，BC＝4，
∴BO＝BC•cos∠OBC＝4×√3/2＝2√3，
∴BD＝2BO＝4√3，∴BP＝1/BD＝4√3/3．
即当PA PB PC值最小时PB的长为4√3/3．
故答案为：4√3/3．
小结：题目中遇到公共端点的三爪（多）图时，旋转是它的克星利器，通过旋转把分散的条件（线段或角）整合在一个三角形内解决。旋转时明确旋转中心和旋转角。因此当我们再遇到类似问题时，首先考虑旋转来解决。
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