作者 | 林开亮
在数论中，有许多有趣的难题，有些已经解决了，如著名的费马大定理，它断言，当 时，不存在满足 的正整数 。英国数学家怀尔斯对这个问题的解决，是 20 世纪数学的一项重要成就。
不过，还有一些说起来简单、做起来困难的数论问题仍未解决，比如我们这里要介绍的三立方数之和的问题。
1957 年，英国数学家莫德尔（Mordell）问：哪些正整数可写成三个立方数（这个立方数可正可负也可以等于 0）之和？
容易看出，前三个正整数都可以写成三个立方数之和：
而且，3 还有另一种写法：
至于接下来两个数 4,5, 利用一个简单的推理，可以说明它们都不能表示成三个立方数的和。事实上，可以证明，所有形如 (其中 是整数）的数都不能写成三个立方数之和。原因在于，任何一个立方数除以 9 的余数只能是 或 。推理如下：若 ，则 ，它被 9 整除；若 ，则
它被 9 除余 1；若 ，则
它被 9 除余 。于是，三个立方数之和除以 9 的余数只能由取自 中的三个数求和得到，从而不可能得 或 。
接下来考虑 ，不难发现
到 12 就不太容易了，事实上它也可以（你可以试一试软件，如 https://www.wolframalpha.com/）：
至于接下来的两个数，13 和 14，注意 肯定不能写成三个立方数之和。到 15,16, 17,18,19,20 又变得容易了：
到 21 又要求助软件了：
22 与 23 被 9 除余数分别为 4 和 5，不必考虑，接下来我们有
接下来到 30 了，求助一般的软件可能也帮不上忙了。事实上，直到 1999 年，哈佛大学的数论专家 Noam D. Elkies 以及佐治亚大学的四个研究生组成的团队才各自独立地给出 30 分解为 3 个立方数之和的表达式（都是基于 Elkies1996 年提出的算法）：
一般而言，对给定的正整数 ，假定它除以 9 的余数不是 ，要将它分解为 3 个立方数之和这个问题是很困难的。例如，像
也是到了 1992 年，才由 Heath-Brown, Lioen, te Riele 基于 Heath-Brown 的深刻算法给出.
到 2008 年，数学家已经对 1000 以下的满足除以 9 余数不是 的正整数 , 求出了将 分解为 3 个立方数之和的表达式，除了以下 14 个数未知:
2016 年，Sander G. Huisman 第一个得到 的分解
2019 年，Andrew Booker 第一个得到 的分解:
2019 年 9 月，Booker 与 MIT 的数学家 Andrew Sutherland 合作，首次得到 与 的分解:
此外，他们还得到了 3 的一个意想不到的分解:
这就对 Mordell 1953 年提出的一个问题给出了回答. Mordell 曾经问， 除了已知的两组整数解 之外，是否还有其它解？Booker 和 Sutherland 的上述结果对此给出了肯定回答.
目前所有的结果与努力似乎都在支持 Heath-Brown 1992 年提出的下述猜想:
Heath-Brown 猜想: 设 是一个正整数，且除以 9 的余数不等于 或 ，那么存在无穷多个三元整数组 满足方程
在 （其中 为正整数）的特殊情况，这个猜想是成立的。这是因为，数学家 A. S. Werebrusov（1908 年）与 K. Mahler（1936 年）分别给出了以下两个参数解（分别对应于 与 ):
Heath-Brown 猜想有一个弱的版本，即：当正整数 满足同样的同余条件时， 有整数解。可即便是对于这个弱版本的猜想，我们目前也没有很好的方法对付。例如，对 1000 以内的数，我们还有 10 个尚不能确定是否如此，这 10 个数是
位于榜首的是 114. 考虑到有朋友可能忍不住要动手试一试，我建议大家还是先不要轻举妄动，因为数学家已经用计算机运行高效的算法搜索了绝对值在 以内的整数了！对于较小的 ，此处有一些结果: http://www.asahi-net.or.jp/~KC2H-MSM/mathland/math04/cube01.htm。跟费马大定理一样，这问题初看起来是业余爱好者都可以做的，可实际上远非如此.
例如，我们前面提到的哈佛大学的数论专家 Noam D. Elkies, 他 1987 年（20 岁）博士毕业于哈佛，1993 年（26 岁）成为哈佛正教授，是哈佛历史上最年轻的正教授。而他最成名的一项工作，是在 1988 年（当时在哈佛做博士后）利用椭圆曲线发现的一个结果:
从而否定了大数学家欧拉在 1769 年（距今恰好 250 年）提出的一个猜想。差不多同一时期，德国数学家 Don Zagier 也独立得到同样的结果.
与上述问题相关，我还想介绍一下其他三个问题.
问题 1：是否每个正整数都可以写成 4 个立方数（可正可负也可取零）之和？
这是关于立方数的带正负号的华林问题，已知的结果是，每个正整数都可以写成 5 个立方数之和。其推导也很简单，我们从华罗庚《数论导引》引述如下。注意，对正整数 ， 总可以被 6 整除，于是设 。注意到有恒等式
从而 可以写成
问题 1 相当于问，5 是不是最优的？人们倾向于猜测 5 不是最优，4 个就足以.
问题 2：是否每个充分大的正整数都可以写成 4 个正立方数之和？
（事实上，Dickson 在 1939 年曾证明，这两个数是仅有的例外。这是立方数华林问题的渐进版本。关于立方数的华林问题的结果是：每个正整数都可以写成 9 个正立方数的和。其中 9 是最优的，即存在正整数不能写成 8 个立方数的和，例如 23 与 239。）德国数学家 Landau 在 1909 年证明了，所有充分大的正整数都可以写成 8 个立方数之和。1943 年，苏联数学家 Linnik 证明了，所有充分大的正整数都可以写成 7 个立方数之和。事实上，2016 年，S. Siksek 证明了，每个大于 454 的正整数都可以写成 7 个立方数之和（Every integer greater than 454 is the sum of at most seven positive cubes, Algebra & Number Theory 10 ,2016）。
人们猜测：每个充分大的正整数都可以写成 4 个正立方数之和。甚至有人猜测，只要 ， 就可以写成 4 个正立方数之和.
跟华林问题一样，问题 1 与问题 2 都可以推广到四次方数、五次方数等等，有兴趣的读者可参见华罗庚《数论导引》第 18 章。
下面的问题，可以视为弱化的 Heath-Brown 猜想的一个变种。
问题 3：是否每个正整数都可以写成 3 个形如
的数之和？
华罗庚在 1935 年曾证明，每个正整数都可以无穷多种方式写成 7 个形如 的数之和。这个结果可以改进为：每个正整数都可以写成 4 个形如 的数之和；每个正整数都可以无穷多种方式写成 6 个形如 的数之和。证明如下：事实上，对任意的整数 , 有
以及
容易看到，存在正整数不能写成 的形式，例如 。于是要表出所有的正整数，至少需要 3 个形如 的求和项。我们斗胆猜测，3 个就够了（即，问题 3 的回答是肯定的）。利用软件，不难测试出，这对许多正整数都是对的。（对于比较小的 ，有兴趣的读者可自行在 WolframAlpha 上测试.）例如，我们有
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