李建军（山西省晋中市寿阳一中）
陈国际（山西省晋城市晋城一中）
薛红霞（山西省教育科学研究院）
摘要：从考点、题量、题型、分值，难度、内容特点，考查的思想方法，文理科的差异等几个方面总体概括了概率统计和计数原理的考查特点．从命题的课标依据、总体思路、题面形式、考核范围等方面进行了分析，并就2015年典型题进行了实例剖析．纵向分析了近年来命题的变式，对高考数学试题本专题的命题趋势进行了分析．最后还配套提供了相应的模拟题．
关键词：概率统计；计数原理；命题规律
统计概率及计数原理在各省市历年的高考中都扮演着看似容易，但有时又比较难得分的角色．以史为鉴，可以知兴替，所以要横纵交错地研究命题规律，即一方面要看历届的高考题，另一方面要全面地分析2015年各省市的高考题，这样纵横交错，经纬互织，方能深刻地了解命题的特点和规律．下面就本着这样的思想对统计概率及计数原理进行分析．
一、考题考点分析
经统计，2015年高考数学试题（卷）除江苏不分文理科外，其余文、理卷共有30份，分别是新课程全国Ⅰ卷、Ⅱ卷，北京卷，天津卷，上海卷，重庆卷，广东卷，福建卷，浙江卷，四川卷，湖南卷，湖北卷，安徽卷，陕西卷，山东卷．分析以上试题并统计，发现统计与概率部分，除浙江卷（浙江《考纲》明确不做要求）外都有考查．计数原理由于文理科的差异，文科卷只有上海卷有考查，其他省份没有涉及．理科同样除浙江卷外都有对相关知识的考查．
【评析】此题是在2015年考试过程中引起蝴蝶效应的始作俑者，用学生的话来说就是“怪”，他们在做这个题目时费了较长的时间，并且影响了对后续题目的解答，甚至由此导致了对后续科目考试的不良影响．山西省考生做此题的难度系数是理科0.35，文科0.15，与历年统计概率的难度相比大幅度下降．2014年新课程全国Ⅰ卷第19题的难度系数是0.311；文科第19题是0.534；2014年新课程全国Ⅱ卷的数据分别为理科第18题0.432；文科第18题0.624；2013年全国卷第19题的理科、文科的难度系数为0.297,0.158．2012年全国卷第18题理科、文科的难度系数为0.316,0.270．参照以往每年的情况来看，这样的难度系数还是比较正常的，但是文科的难度系数偏低．为什么会出现这样的情况？学生第一眼看到这个题目时，首先的感觉是不适应，在考场上费了比较多的时间，影响了对整个试卷的解答．事实上，在各省、市的高考试卷中，对线性回归已经考查过多次，最早的一次是2007年广东卷文科和理科的第17题。
④考查统计的不确定性，回归统计学习的本质。
统计是以确定性数学为工具研究不确定现象的，但是很多教学和考试中只注重对统计中的计算图表的应用的考查，事实上其考查的都不是统计的核心．面对同一组统计数据，不同的决策者得到不同的决断，这就是统计．例如，2009年全国卷文、理科第18题和文科第19题，该题考查利用频率分布直方图对总体进行估计，这也是符合时代特点，符合课标和教材的考查方式。此外，2013年新课程全国Ⅰ卷文、理科第18题，2014年文科Ⅱ卷19题考查根据茎叶图给出最后的判断，结论可能是一致的，但是理由可以是根据不同的统计量给出的．这些题目都显示了统计与确定性数学本质上的不同．
（2）注重与其他内容的结合，考查学生综合分析问题的能力。
例如，与分段函数相结合．高考中对分段函数的考查在此处找到了一个很好的融合点．又如，2012年新课程全国卷文、理科第18题，2013年新课程全国Ⅰ卷文、理科第19题，这几道题首先需要建立函数关系，之后再利用函数关系解题；2014年新课程全国Ⅰ卷文、理科第19题，在最后一小题处要和函数结合求最值．此外，2007年理科第20题，2010年理科第13题，文科第14题则是将随机模拟实验与定积分相结合，2007年文科第20题与方程是否有实根相结合等．由此可见，高考对于统计概率的考查总是能与相关的知识紧密结合．
（3）以简单题或中等难度题为考查的难度定位。
上面所举的例子都是在统计概率这个板块，其考查难度，除部分特殊情况低于0.3，出现难题之外，大部分题目的难度大于0.3．当然文、理科还是有一定差异的。例如，由上所给数据可以看出，文科学生在解答统计概率的大题时并不占优势，其难度系数连续几年都在0.150左右．
2013年新课程全国Ⅰ卷理科第14题，考查古典概型，难度系数0.532；新课程全国Ⅱ卷理科第9题，考查二项式定理，难度系数0.700；
2013年新课程全国Ⅰ卷文科第13题，考查古典概型，难度系数0.813；新课程全国Ⅱ卷文科第3题，考查古典概型，难度系数0.883；
2014年新课程全国Ⅰ卷理科第5题，考查排列组合与概率，难度系数0.779；新课程全国Ⅱ卷理科第5题考查相互独立事件的概率，难度系数0.382；新课程全国Ⅱ卷理科第13题考查二项式定理，难度系数0.719；
2014年新课程全国Ⅰ卷文科第13题，考查古典概型，难度系数0.773；新课程全国Ⅱ卷文科第13题考查古典概型，难度系数0.808。
从这些数据可以看出，对于本部分内容进行考查的小题基本上属于容易题，个别题目除外．
这与很多教师经验中高难度的基于排列组合计数原理复杂计算基础上的概率是完全不同的．如果不了解这些特点，不把握新课标的要求，不依据新的考纲，不参考课标卷历年的试题，那么必然会出现以上所谈情况．
3．2015年典型题分析
（1）考查定理的形成过程。
【评析】此题紧扣课标，考查根据统计图获得统计信息，做出估计的意识和能力，这是现代公民必备的素养．同时，基于统计数据进行概率计算，这是课标和考纲的要求，也是这些年的一种典型考查方式．新课程全国Ⅱ卷理科第18题与此题基本类似．类似的题目还有2015年安徽卷文科第17题，2015年北京卷文科第17题，2015年理科第16题，2015年福建文科第18题，2015年广东文科第17题，2015年湖北文科第14题等．
（4）基于排列组合求概率.
例5 （2015年福建卷·理18）某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额商品后即可抽奖，每次抽奖都从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中，各随机摸出1个球，在摸出的2个球中，若都是红球，则获一等奖；若只有1个红球，则获二等奖；若没有红球，则不获奖.
（1）求顾客抽奖1次能获奖的概率；
（2）若某顾客有3次抽奖机会，记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为X，求X的分布列和数学期望.
【评析】此题以有奖促销为背景，以相互独立事件的概率，互斥事件的概率，分布列和数学期望这些主要内容为载体命制而成．其主要考查了学生在统计中的计算技能．这种类型的试题在各省市命制的高考题中经常见到，延续了大纲卷的考查特点，体现了计数原理的内容与概率统计的结合．类似的题目还有安徽卷理科第17题，天津卷理科第16题，四川卷理科第17题，湖南卷理科第18题等．有些文科试卷虽然不用到计数原理，不考查分布列，但是其命制思路与理科题本质是一致的，只是用计数的方法，考查均值等．
（5）考查系统抽样，正态分布.
【评析】此例以一个工厂工人年龄为背景，考查系统抽样的操作方法，及平均值方差的计算，并依隐含了对正态分布的考查．对于系统抽样的考查在历年的高考试题中常见，但多以直接考查结果为主，此题则反其道而行之考查系统抽样的操作过程．对于正态分布的考查也以直接考查为主，类似的题目有山东卷理科第8题，福建卷理科第16题．
（6）对计数原理排列组合的考查以简单题为主。
例7 （2015年四川卷·理6）用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中比40000大的偶数共有（ ）.
（A）144个 （B）120个 （C）96个 （D）72个
【评析】此题直接考查排列数公式的应用．这种考法在这些年各套试题这也是一种常见的形式．此类题目属于简单题或者中等难度题．
4．命题趋势分析
综观历年的高考试题，横向分析2015年各省市的高考试题，展望明年的高考，其命题趋势应该具有如下特点．
（1）依据考纲命制试题。
这是命题的基本依据，也是命题的大趋势．对于考纲的理解一方面是显性的具体知识，另一方面是其内涵的体现．此外还要注意不同省市的试题，对考纲的同一个要求，在考题中体现的侧重点是不同的，所以在这个大原则下，看考查规律一定要将考纲和历年的具体试题结合起来．
（2）注重基础，考查应用。
本部分内容的高考试题都是以基础题为主，这是各省市试题的一个共同特点．本部分内容是与实际应用联系的很好的载体，所以高考常在这部分考查应用能力，有时会出现因为情境不熟悉，使得转化受到阻碍，从而导致难题的现象．
（3）试题数量应该保持。
高考试题的数量，大部分省、市会保持现有的状态，即一个大题，2至3个小题．
（4）计数原理的相关内容分两种方式考查。
对于计数原理的考查不是每年都出现，其会与排列、组合，二项式定理交替出现．对于排列组合的考查一种方式是直接考查；另一种方式是在计算分布列中用到．
（5）基于统计的概率计算和基于排列组合的概率计算分布在不同的试卷中。
这是两种考查方向，在全国课标卷中大于80%的试题是考查基于统计计算概率，；而在其他试卷中，基于排列组合计算概率所占的比例较大．
（6）文科与理科试题有差异。
这一点是必然的，这是文理科课标和考纲决定的．但是文、理科试题经常会以姊妹题的形式出现．例如，理科考查期望，文科考查平均值；理科考查排列组合计数，然后将数字简化后文科考查直接计数．所以文、理科有些试题很像，但是因为数据的改变，其解决办法难易度就会发生本质的变化．
（7）关于分布列及相关问题的考查是主流，统计案例等也会间隔出现。
在大题的考查中，多以分布列为载体进行考查，但是对于其他知识的考查也会穿插出现，因此不能忽视每一个内容，备考还是要全面．
三、模拟题欣赏
不论是在哪一种教学模式下，对于知识都需要通过一定量的习题解答来巩固和提高．编制模拟题对教学有导向作用，因此编制模拟题的过程就是研究教材和课标、研究考纲和高考的过程，解答这些题目是这些研究的具体表达，只有能成功命制和解答模拟题，才能把握教学规律，有的放矢地高效备考．下面的模拟题供大家参考．
育出版社.
[2]教育部考试中心。高中文科试题分析（课程标准试验·2011版）【M】。北京：高等教 育出版社.
[3]教育部考试中心。高中理科试题分析（课程标准试验·2013版）【M】。北京：高等教育出版社.
[4]教育部考试中心。高中文科试题分析（课程标准试验·2013版）【M】。北京：高等教育出版社.
[5]教育部考试中心。高中理科试题分析（课程标准试验·2014版）【M】。北京：高等教育出版社.
[6]教育部考试中心。高中文科试题分析（课程标准试验·2014版）【M】。北京：高等教育出版社.
[7] 周远方，余锦银. 2014年高考“概率与统计、计数原理”的专题分析【J】，中国数 学教育（高中版）,2014（7/8）106-119.
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