碰到负整数时，带余除法怎么做？
2019年8月5日星期一
大家都知道，整数范围内的除法分为“整除”和“带余除法”两种，用数学语言描述如下：
设：a，b∈Z（a、b属于整数集Z，即a、b是任意两个整数）
则：
（1）b｜a；（b整除a，特例：0整除0）
（2）a＝bq＋r，且q，r∈Z ，b≠0，0≤r＜｜b｜。（b除a，商q余r，其中r＝0时即为b整除a）
本文将讨论重点放在带余除法a＝bq＋r上，看看在整数范围内完整地应该怎么做。整数分为：正整数、0、负整数，本文讨论的核心问题具指：被除数a、除数b中有“负整数”参与时，带余除法应当怎样做。
（重要程度★★★★★）
图片来自网络
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我探索了三种情况，都满足共同的前提条件：｜r｜＜｜q｜（即余数的绝对值小于除数的绝对值）。
（一）商×除数＜被除数例如：
18÷5＝3 ……3 或 18＝5×3＋3 其中：5×3＜18
（－18）÷5＝－4……2 或 －18＝5×（－4）＋2 其中：5×（－4）＜－18
18÷（－5）＝－3……3 或 18＝（－5）×（－3）＋3 其中：（－5）×（－3）＜18
（－18）÷（－5）＝4……2 或 －18＝（－5）×4＋2 其中：（－5）×4＜－18
这样做，有两个特点：
①余数取正数；
②余数小于除数的绝对值。
其实，这种情况与文首定义中：0≤r＜｜b｜保持一致。在数学界，或许这是主流的处理办法。
（二）余数与被除数同号例：
18÷5＝3……3 或 18＝5×3＋3
（－18）÷5＝－3……（－3） 或 －18＝5×（－3）＋（－3）
18÷（－5）＝－3……3 或 18＝（－5）×（－3）＋3
（－18）÷（－5）＝3……（－3） 或 －18＝（－5）×3＋（－3）
这么做的理由很朴素，即：余数是被除数的剩余，符号理应与被除数保持一致。其特点是：4个商、4个余数的绝对值分别相等。
（三）余数与除数同号例：
18÷5＝3……3 或 18＝5×3＋3
（－18）÷5＝－4……2 或 －18＝5×（－4）＋2
18÷（－5）＝－4……（－2） 或 18＝（－5）×（－4）＋（－2）
（－18）÷（－5）＝3……（－3） 或 －18＝（－5）×3＋（－3）
这么做的原因我并没有想好，只想提两点：
①在电子表格软件Excel中，有一个取余函数“mod(被除数，除数)”，所采用的规则就是这个第（三）种；
Excel中用mod函数求余数
②在带余除法中，当除数b＝n（n∈Z ）时，所有的带余除法被分为n类，即余数依次为0、1、2、……、（n－1）的n类运算；当除数b＝－n（n∈Z＋）时，便可定义为以下n类，即余数依次为0、－1、－2、……、－（n－1）＝（－n＋1）的n类运算。上例中，b＝5时，所有可能余数依次为：0，1，2，3，4；b＝－5时，所有可能余数依次为0，－1，－2，－3，－4。
最后是三种情况的对比。
三种求余规则的对比
至于，为何想到了三种规则，有些缘由。上述规则一，来源于对正常除法竖式计算的思考与类推，即每一步总要保证被除数可以减过商与除数的乘积；规则二，来源于对除法的现实意义的回顾与思考（即“平均分”的初步意义，余数是被除数分到不能再分后剩余的数），拟将余数与被除数在更大的范围内统一起来，取其符号和单位的一致性；规则三，或许重点在于依据带余除法，将整数中的除法运算进行一种“划分”，构建出关于除数的“剩余类”。
附注：本文不受限于“面向小学生”。
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