欧洲文艺复兴之后，科学也也迎来大发展时代，而出于实际的需要，天文和航海等领域的研究更是进行得如火如荼。但到了十六世纪后，科学家们往往会被一个问题所困扰，那就是处理数据时所进行的复杂数字运算。为此，不少数学家都在寻找一种可以减少计算量的更先进的数字处理方法，对数的概念也就应运而生。以今天的眼光来看，对数的发明无疑是数学计算史上革命性的里程碑事件。
对数的概念萌芽于德国数学家施蒂费尔(Stifel)，他在自己1544年的著作《整数算术》中详细探讨了几何级数1，r,r^2,r^3……中的各项与其指数之间的关系，例如我们今天所熟知的两数相乘所得之数的指数为原两数指数之和，更进一步，他还将这种运算规律推广到了指数为负数和分数的情形。如今这样的规律初中学生都已熟知，但在施蒂费尔的时代，这样的问题仍是模糊的，甚至在当时并没有“指数”这样的概念。但可惜的是，限于时代的陈旧观念，施蒂费尔并没有提出类似于对数的概念，遗憾地错失了这次数学大发现和名垂千古的机会。
发明，或者说发现对数的重要功劳当属苏格兰数学家纳皮尔。纳皮尔(John Napier,1550~1617)本是苏格兰地区的贵族，对天文学尤其是相关的计算很有兴趣，擅长于把天文问题转化为球面三角的问题。如今没有资料显示纳皮尔产生对数概念的具体过程，但这显然与他长期从事天文计算研究相关。大约在1594年，纳皮尔得到了对数概念的雏形，为此他专门写信将想法告诉了当时著名的天文学家第谷(Tycho Brahe,1546~1601,近代天文学奠基人，开普勒的老师)。
而后经过长时间的思考，纳皮尔的对数概念开始逐渐清晰起来，和当时的传统做法一样，纳皮尔需要著作来详细阐释他的思想，为此他完成了两本著作：《论述对数的奇迹》(1614)和《做出对数的奇迹》(1619)。纳皮尔的出发点与之前的施蒂费尔完全不同，他借助了物理中的直线运动和连续几何变量来引入对数。
纳皮尔的思路大致如下：
假定质点P沿着一有限直线AZ运动，另一质点Q沿着一无限长直线 A'Z'运动。两个质点开始运动时的初速度相同，Q的速度保持不变，而P的速度则以如下方式变化：在其路径上任意一点B的速度与该点到终点的距离即|BZ|成正比，设比例系数为1。如果当P点位于B时，Q点位于B'，则将|A'B'|称为|BZ|的对数。
但值得注意的是，在纳皮尔所处的时代里并没有微积分理论，所以关于运动，尤其是速度，无法给出准确的数学描述，因此纳皮尔的定义以今天的眼光来看并不够严格，而且实际上，他给出的描述比上述还要复杂许多。为了使得上述描述看起来简单一些，我们只需利用非常少量的微积分语言如下：
令AZ=a，BZ=y，A'B'=x，因此AB=a-y。
以t表示运动时间，于是P点在B处的速度可表示为d(a-y)/dt。
那么由题设条件，有d(a-y)/dt=y。
再由初始条件：t=0时y=a。
最终解上述的常微分方程得：x=a(lna-lny)。
而按照定义，x就是y的对数。
在没有指数概念和微积分的时代里，纳皮尔能够突破传统束缚给出对数的定义，的确是算得上是居功甚伟。不仅如此，纳皮尔还将自己的发明命名为“对数(Logarithm)”，意思是“比产生的数”，而这一命名也沿用至今。而对数的发明也产生了数学史上的奇观，那就是更为复杂的对数却比简单又明确的指数更先被定义出来。直到1728年，伟大的数学家欧拉才首次明确指出对数和指数间的互逆关系，他也首次提出如今我们常用的自然对数的概念，此时距对数的发明已过百年之久。而我们如今所使用的的对数符号则是意大利著名数学家，积分学先驱卡瓦列里(Bonaventura Francesco Cavalieri ,1598～1647)首先提出的。
然而发明对数的功劳却并不只属于纳皮尔一人。前面我们介绍过施蒂费尔的发现，不幸的是他却错过了发明对数的机会，但在他之后却有人沿着他的道路再次“发明”的对数，这就是比尔奇。比尔奇(Joost Burgi,1552~1632)原本是瑞士的一名钟表仪器制造工人，和纳皮尔一样，比尔奇也对天文学非常感兴趣，而且也积累了相当的知识，后来在布拉格曾当过著名天文学家开普勒的助手。在完全不知晓纳皮尔工作的情况下，比尔奇在1600年利用施蒂费尔关于“指数”对应的思想，重新定义了对数的概念。但他的结果在20年后才正式发表，比纳皮尔稍晚，而且在多方面因素的影响下，纳皮尔成为了数学史上发明对数的“正宗”。
纳皮尔发明对数是为了简化球面三角的运算，所以实际上他给出的是三角函数值的对数，但这样的定义无形中增加了计算对数的困难。在1615年，当时的数学家和天文学家布里格斯(Henry Briggs,1561~1631)向纳皮尔提出了一项建设性的意见，用今天的话来说，就是把一个数的对数定义为以10为底情况下这个数的指数，这样就使得对数的计算简单了许多。自此之后，大量的数学家利用各种各样的方法，计算并制作了许多数据庞大而详尽的对数表，例如1624年，布里格斯出版了《对数算术》，公布了以10为底的包含1~20000及90000~100000的14位常用对数表。
而在没有计算器的时代，这样的对数表对数学家，天文学家和航海家等来说，无疑就如“救世主”一般。关于对数的重要性，最著名的评价无疑是伽利略的名言：给我空间，时间和对数，我就可以创造整个宇宙！著名的拉普拉斯也说过：对数的发明极大的延长了天文学家们的生命。
而对数表退出历史舞台，让位于先进的计算机，也只不过是近几十年的事而已。
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