α(x)为x的函数，若lim(x->x0)α(x)=0，则称α(x)当x->x0时为无穷小
注意：
（1）无穷小无限靠近于0但不等于0；
（2）0是无穷小，无穷小不一定是0；（理解：lim(x->x0)0=0,所以0这个函数的极限是0，极限为0就是无穷小）
（3）α(x)≠0，α(x)是否为无穷小与自变量的趋向有关
等价定义：all ε>0, exist δ>0, 当0<|x-x0|<δ, |α(x)|<ε，跟极限的定义类似，只不过这次的极限值为0
2、无穷小性质（1）α(x)->0, β(x)->0, (x->x0) 则(α±β)->0 (x->x0)
证明：
all ε>0
∵ α(x)->0, β(x)->0, (x->x0)
令ε1=ε/2, 存在 δ1>0, 当0<|x-x0|<δ1时，|α(x)|<ε1 (1)
令ε2=ε/2, 存在 δ2>0, 当0<|x-x0|<δ2时，|β(x)|<ε2 (2)
令δ=max{δ1,δ2},当0<|x-x0|<时，（1）（2）都成立
∴ |α(x) β(x)|<=|α(x)| |β(x)|<ε1 ε2
即|α(x) β(x)|<ε
∴ (α±β)->0 (x->x0)
（2）α(x)->0 (x->x0), 则kα(x)->0 (x->x0)
证：
all ε>0
∵ α(x)->0 (x->x0)
对于ε1=ε/k
存在δ>0
当0<|x-x0|<δ时， |α(x)|<ε1=ε/k
∴当0<|x-x0|<δ，|kα(x)|<kε1=ε
即|kα(x)|<ε
∴kα(x)->0 (x->x0)
3、无穷大的定义f(x)是关于x的函数
all M>0, 存在δ>0, 当0<|x-x0|<δ时, |f(x)|>M，称f(x)当x趋向于x0时为无穷大
记为：lim(x->x0)f(x)=∞
例1：lim(x->1)(2/(x-1)^2)=∞
任意M>0 |2/(x-1)^2|>M <=> |x-1|<√(2/M)
存在δ=√(2/M)
当0<|x-1|<√(2/M)时, |2/(x-1)^2|>M
因此lim(x->1)(2/(x-1)^2)=∞
4、无穷大性质lim(x->x0)f(x)=0 <=> lim(x->x0)(1/f(x))=∞
证明：
all M>0 取ε=1/M>=0
∵ lim(x->x0)f(x)=0
∴ 存在δ>0
当0<|x-x0|<δ |f(x)|<ε
∴ |1/f(x)|>M
即lim(x->x0)(1/f(x))=∞
例2：lim(x->∞)(2x^2 1)=∞
all M>0 |(2x^2 1)|>M <=> |x|>√((M-1)/2)
存在X=√((M-1)/2)
当|x|>X时，|2x^2 1|>M
所以lim(x->∞)(2x^2 1)=∞
5、总结（1）对于无穷小来说，是对任意小的一个数ε都能找到一个范围，在这个范围内函数值小于ε
（2）对于无穷大来说，对于任意大的一个数M都能找到一个范围，在这个范围内函数值都大于M
证明的时候根据这个思路来证即可，也可以运行无穷小无穷大的性质换方法去做，比如求证明一个函数为无穷大，你可以证明这个函数的倒数是无穷小。
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