好久没写关于学业的思考了，今天来和大家谈谈数学学习中的一个误区——“学语文需要背诵，学数学就不用背公式，数学真正学懂了自然而然就会做了”．
曾遇到过家长对孩子背公式表示反感，甚至直言这样抹杀了孩子的创造力，这种想法实在片面，又不是每个小朋友都是高斯欧拉，孩子的学习容不得想当然．
老师们开教研会时就曾分享过一个经历，上一节课精心引导孩子和老师一同推导出了结论公式，孩子懂原理、会推导、理解到位，结果下节课就忘得干干净净。理解的确是学习的前提，但记忆和练习也是必不可少的手段．
一提到背公式，并非除了超出接受能力的死记硬背，就只有不背公式纯看天赋，这两种极端选项之间才是正常人的正常选择．
咱们来仔细聊聊藏在公式背后的逻辑．
一、走偏的数学语境
“重兴趣重思维”对于数学的学习是很重要，但只是一味强调兴趣与思维，忽视其他，那是抓准了大家某些心态之后的偷换概念之举，懂的人都懂，学习终归要落到脚踏实地地一点点推进上．
同样是学科基础，类比一下，公式概念定理这些就相当于语文中的识字，英语中的单词与语法，试想连字都认不全，如何能够写出优美动人的文章？
而“公式抹杀了孩子的创造力”这一说法，更是在甩锅，真正在消磨孩子创造力的是“只求对不求会”的学习态度，和高高在上的教育方式，这和老师家长的言传身教有关．公式不应该为偷懒的教育者背锅．
实际上学生如果没有做到对定义和公式滚瓜烂熟，就根本没有数学思维成长的空间，毕竟脑子里空空如也，哪来的工具去分析世界．
吐槽一下：
数学的领域包罗万象，这个时代真正前沿的知识是极其复杂、深奥、抽象的，而我们目前阶段所学习的数学知识，其实统统是前人很多年前积累下来的“旧”知识，包括现在面对的题型，也是不知道多少年前数学家们已经玩剩下的，比如经典的“鸡兔同笼”、“七桥问题”等．
前人的思考，是我们的阶梯，俗语有言“不要重新发明轮子”，公式定理是前人智慧的结晶，我们应该去继承，去理解，去钻研，甚至在这个基础上总结新的公式、定理、结论、技巧，而不该去抗拒它．
舍弃这些，就是在用一己之力妄想对抗众人之智，靠灵光一闪奢求胜过千百年传承．
二、成人的傲慢
在实际教学中，我经常遇到孩子们紧皱眉头地一遍遍重复读题，期待着“读题百遍其义自见”；又或者一脸迷茫地分辨题目里的某个数据是速度还是路程，是成本还是售价；也有家长朋友会和我吐槽“题目明明那么简单，他/她怎么就是想不明白了！！”
原因非常统一——背景陌生、概念不熟、公式易混，这也是孩子们学习过程中最常见的难点．而不论理解原理、牢记公式还是刷题练习，全都是为了帮助孩子们盲人摸象，建立认知，加深印象，建立联想．
印象，加深印象就是关键！
对于学生们来说，很多概念并不是“自然而然”、“就是那样的”，他们像盲人一样在一片残缺甚至虚无中不断摸索，建立对客观概念的认知，串联概念之间的关系，将复杂含义的概念联系归纳为种种公式，用定理统合所有，最终点亮整个世界——建立了完善的数理认知．
很多成年人早年已经经历过这些，建立了正确的数理认知，就忘了当年在数学的道路上筚路蓝缕、上下求索的过程，体会不到小朋友的苦楚，这其实是一种大人的傲慢．
印象很重要？因为只有印象深刻，审题时才能反应过来，做题时才能联想得到．这不单是1秒想到还是1分钟想到的时间问题，更是思路是否顺畅的问题．
大家都是从学生时代过来的，自然明白思路的卡顿越多越长，题目就越“难”想出来——这也是为什么有人觉得一道题难，有人却觉得题简单．
比如解分数方程，家长大多下意识就能解出来，像移项忘变号、去括号漏乘之类的易错点自然而然就能想到避开，可孩子在做的时候连一个移项变号都要分成两个思考过程，做一步想一步，易错点又不熟，自然顾此失彼，错误率极高．
而且现在孩子们学习的知识题目真的不轻松，这些年来中国学生整体的水平其实一直在缓步提升，把时间跨度拉长之后看一下历年高考试卷，可以发现难度变化还是比较明显的．
随着教材更新，难度提升，知识点下放不可避免，大家会发现有些当年家长们高中学习的知识，孩子在初中就开始接触了．难度的提升反过来也要求学生水平要跟着提升．
基础不扎实，印象不深刻 ，哪有那个闲工夫去慢慢回忆翻翻笔记，跟不上节奏就只能被节奏拖着走．
公式的附加意义有二
一是帮助学生更加深刻的理解概念定义，类似分率、利润率这类概念定义，本身就是由公式得来，还有速度、浓度、工作效率这类概念定义，直观去理解其实很容易和相关概念割裂开来，通过公式能采用更有联结性的角度来理解，更有助于审题时产生联想．
二是公式本身也是认知的一种，像相似模型的结论就是公式，通过它学生可以理解相似三角形之间的几何关系，类似的还有许多，像从错位相减的公式中可以领略数学的工整与美妙，从流水行船的公式中可以体会运动的相对性，从同余方程公式中发现超越表象直指特性的巧妙视角．
当然，公式帮助学生简化步骤的基础作用肯定也不能忽视，比如组合数的公式可以方便求出从若干个对象中无顺序地选出几个对象的可能性总数，高斯求和公式极大的减少了等差数列求和的计算量．
三、正确的路与学习的苦
要想学好数学，对公式定理的学习、理解、记忆、练习，是必须要下狠功夫的．可实际的学习中，孩子和家长都有意无意间忽视这方面的落地．
数学基于对客观世界的理性认知，公式定理就是对客观世界的描述，而出于年龄原因，绝大多数孩子对客观世界的原有认知都是有问题的．对公式定理的学习、记忆和理解，其实内在体现的就是更新自身的认知，更加精准的去理解客观世界．
有的孩子初学时就对数学知识理解非常快，就是因为他本身的认知已经足够正确且精确，只是不知道怎么去描述，所以你一教，他就明白了．
但这种情况可遇不可求，所以绝大部分孩子的学习过程都说不上愉快，因为修改自己的认知本就又难又累，这是一个不断否定自己，绞尽脑汁拼命琢磨的痛苦过程．
于是出于对这种痛苦的畏惧，孩子们会下意识地逃避背公式记定理这类笨功夫，并冠以心安理得的安慰——靠背下来已有的公式学习并不是真的学会，我要靠自己的思路解决问题．
听上去很有道理，但实际上只有极少极少的孩子能够知行合一，真正做到这点．对于绝大部分孩子来说，这就是一种偷懒借口、省事思维．
别看“靠自己的思路”偶尔也能做对题目，实际方法繁复，囿于已有知识框架，对认知提升并无益处，这依旧是在图省事和偷懒——省修改认知的事，偷用心钻研的懒（毫无疑问，修改认知是更加一劳永逸的选择）．
在我看来，安于舒适区，抗拒新知识新变化是比一时成绩高低更严重千百倍的问题．
我一直坚信一点，数学虽巧，但学数学不可取巧，学习的过程中也需要坚持，也需要脚踏实地，也需要抱有“不积跬步无以至千里”的觉悟．
所以承认吧，学习就是反天性的，很累，很苦，没有这个认知就不要期待收获．贪图轻松，追求快乐，怕累怕苦，勿入斯门！这扇门后没有灵丹妙药与捷径，只有正确的路和学习的苦．
认清了这一点，还有什么可逃避的呢？扎实地学就完事了！
,
