万有引力与航天典型例题（万有引力与航天题型特点与命题规律）

本章内容高考以牛顿运动定律和万有引力为核心，以抛体运动和圆周运动为基础进行命题，涉及天体质量，星球表面重力加速度的计算，天体或卫星的运动规律分析，卫星和地表物体运动状态的比较等方面，随着中国航天科技的崛起，人造卫星和飞船成为高考的热点背景。试题多为选择题，也可能出现综合计算题。

一、本章内容、考试范围及要求

二、常见题型展示

1. 重力与万有引力的关系

2. 天体运动过程中基本参量的比较（定量计算或者定性分析）

3. 地球表面上和轨道上的重力加速度问题

4. 万有引力相关参量的估算问题（质量或者密度估算）

5. 三种卫星的运行问题（近地卫星、赤道上物体与同步卫星）

6. 双星与多星问题

7. 三种（第一、第二与第三）宇宙速度的理解与定性分析（运行速度、宇宙速度与发射速度）

8. 卫星的稳定运行与变轨问题

本章考试题型归纳与分析：

考试的题型：选择题、解答题

考试核心考点与题型：（1）选择题：万有引力相关参量的估算问题与三种卫星的运行问题

（2）解答题：与机械能相结合考查卫星变轨问题。

三、近几年高考在本章中的考查特点

1 重视应用万有引力规律解决天体运动的问题

【典例1】(2015海南单科,6)若在某行星和地球上相对于各自的水平地面附近相同的高度处、以相同的速率平抛一物体，它们在水平方向运动的距离之比为2∶√7，已知该

行星质量约为地球的7倍，地球的半径为R.由此可知，该行星的半径约为( )

【典例2】(2015北京理综，16) 假设地球和火星都绕太阳做匀速圆周运动，已知地球到太阳的距离小于火星到太阳的距离，那么( )

A．地球公转周期大于火星的公转周期

B．地球公转的线速度小于火星公转的线速度

C．地球公转的加速度小于火星公转的加速度

D．地球公转的角速度大于火星公转的角速度

【典例3】(2015四川理综，5) 登上火星是人类的梦想，“嫦娥之父”欧阳自远透露：中国计划于2020年登陆火星．地球和火星公转视为匀速圆周运动，忽略行星自转影响．根据下表，火星和地球相比( )

A.火星的公转周期较小

B．火星做圆周运动的加速度较小

C．火星表面的重力加速度较大

D．火星的第一宇宙速度较大

2. 重视对人造卫星运行规律的考察

【典例4】(2016天津理综，3)我国即将发射“天宫二号”空间实验室，之后发射“神舟十一号”飞船与“天宫二号”对接。假设“天宫二号”与“神舟十一号”都围绕地球做匀速圆周运动，为了实现飞船与空间实验室的对接，下列措施可行的是( )

A．使飞船与空间实验室在同一轨道上运行，然后飞船加速追上空间实验室实现对接

B．使飞船与空间实验室在同一轨道上运行，然后空间实验室减速等待飞船实现对接

C．飞船先在比空间实验室半径小的轨道上加速，加速后飞船逐渐靠近空间实验室，两者速度接近时实现对接

D．飞船先在比空间实验室半径小的轨道上减速，减速后飞船逐渐靠近空间实验室，两者速度接近时实现对接

【典例5】(2015福建理综，14)如图，若两颗人造卫星a和b均绕地球做匀速圆周运动，a、b到地心O的距离分别为r₁、r₂，线速度大小分别为v₁、v₂，则( )

【典例6】．(2014天津理综，3)研究表明，地球自转在逐渐变慢，3亿年前地球自转的周期约为22小时．假设这种趋势会持续下去，地球的其他条件都不变，未来人类发射的地球同步卫星与现在的相比( )

A．距地面的高度变大 B．向心加速度变大

C．线速度变大 D．角速度变大

3 注重与当代前沿科技的结合，考查学生获取信息的能力。

【典例7】(2015新课标全国Ⅰ,21)(多选)我国发射的“嫦娥三号”登月探测器靠近月球后，先在月球表面附近的近似圆轨道上绕月运行；然后经过一系列过程,在离月面4 m高处做一次悬停(可认为是相对于月球静止)；最后关闭发动机，探测器自由下落．已知探测器的质量约为1.3×10³ kg，地球质量约为月球的81倍，地球半径约为月球的3.7倍，地球表面的重力加速度大小约为9.8 m/s².则此探测器( )

A．在着陆前的瞬间，速度大小约为8.9 m/s

B．悬停时受到的反冲作用力约为2×10³ N

C．从离开近月圆轨道到着陆这段时间内，机械能守恒

D．在近月圆轨道上运行的线速度小于人造卫星在近地圆轨道上运行的线速度

【典例8】(2016四川理综，3)国务院批复，自2016年起将4月24日设立为“中国航天日”。1970年4月24日我国首次成功发射的人造卫星东方红一号，目前仍然在椭圆轨道上运行，其轨道近地点高度约为440 km，远地点高度约为2 060 km；1984年4月8日成功发射的东方红二号卫星运行在赤道上空35 786 km的地球同步轨道上。设东方红一号在远地点的加速度为a₁，东方红二号的加速度为a₂，固定在地球赤道上的物体随地球自转的加速度为a₃，则a₁、a₂、a₃的大小关系为( )

A．a₂＞a₁＞a₃ B．a₃＞a₂＞a₁

C．a₃＞a₁＞a₂ D．a₁＞a₂＞a₃

【典例9】(2015江苏单科，3)过去几千年来，人类对行星的认识与研究仅限于太阳系内，行星“51peg b”的发现拉开了研究太阳系外行星的序幕．“51peg b”绕其中心恒星做匀速圆周运动,周期约为4天，轨道半径约为地球绕太阳运动半径的1/20，该中心恒星与太阳的质量比约为( )

A.1、10 B．1 C．5 D．10

4 考察应用物理规律综合处理问题的能力。

典例10】(2015天津理综，8)(多选)P₁、P₂为相距遥远的两颗行星，距各自表面相同高度处各有一颗卫星s₁、s₂做匀速圆周运动．图中纵坐标表示行星对周围空间各处物体的引力产生的加速度a，横坐标表示物体到行星 中心的距离r的平方，两条曲线分别表示P₁、P₂周围的a与r²的反比关系，它们左端点横坐标相同．则( )

A．P₁的平均密度比P₂的大

B．P₁的“第一宇宙速度”比P₂的小

C．s₁的向心加速度比s₂的大

D．s₁的公转周期比s₂的大

【典例11】(2014四川理综，9)石墨烯是近些年发现的一种新材料，其超高强度及超强导电、导热等非凡的物理化学性质有望使21世纪的世界发生革命性的变化,其发现者由此获得2010年诺贝尔物理学奖.用石墨烯制作 超级缆绳，人类搭建“太空电梯”的梦想有望在本世纪实现．科学家们设想，通过地球同步轨道站向地面垂下一条缆绳至赤道基站，电梯仓沿着这条缆绳运行，实现外太空和地球之间便捷的物资交换

(1)若“太空电梯”将货物从赤道基站运到距地面高度为h₁的同步轨道站,求轨道站内质量为m₁的货物相对地心运动的动能.设地球自转角速度为ω，地球半径为R.

(2)当电梯仓停在距地面高度h₂＝4R的站点时,求仓内质量m₂＝50 kg的人对水平地板的压力大小．取地面附近重力加速度g＝10 m/s²,地球自转角速度ω ＝7.3×10^－5 rad/s，地球半径R＝6.4×10³ km.

【典例12】(2014北京理综，23)万有引力定律揭示了天体运行规律与地上物体运动规律具有内在的一致性．

(1)用弹簧秤称量一个相对于地球静止的小物体的重量，随称量位置的变化可能会有不同的结果.已知地球质量为M，自转周期为T，万有引力常量为G.将地球视为半径为R、质量均匀分布的球体，不考虑空气的影响．设在地球北极地面称量时，弹簧秤的读数是F₀.

a．若在北极上空高出地面h处称量，弹簧秤读数为F₁，求比值F₁/F₀的表达式，并就h＝1.0%R的情形算出具体数值(计算结果保留两位有效数字)；

b．若在赤道地面称量，弹簧秤读数为F₂，求比值F₂/F₀的表达式．

(2)设想地球绕太阳公转的圆周轨道半径r、太阳的半径R_s和地球的半径R三者均减小为现在的1.0%，而太阳和地球的密度均匀且不变．仅考虑太阳和地球之间的相互作用，以现实地球的1年为标准，计算“设想地球”的1年将 变为多长？

四、分析总结与趋势预测

1. 分析总结

1）常考点

关于万有引力定律及应用知识的考查，主要表现在两个方面：(1)天体质量和密度的计算：主要考查对万有引力定律、星球表面重力加速度的理解和计算．(2)人造卫星的运行及变轨：主要是结合圆周运动的规律、万有引力定律，考查卫星在轨道运行时线速度、角速度、周期的计算，考查卫星变轨运行时线速度、角速度、周期以及有关能量的变化．

2）命题分析

万有引力定律的运用是近五年高考热点的内容，重现率为100%，万有引力定律是力学中一个独立的基本规律，因此，高考命题的特点主要表现在以下几个方面：

①运动的向心力来源天体之间的万有引力，运动的规律近似于匀速圆周运动，因此有：

以上公式是研究天体运动及人造地球卫星运动的基本方程，是考查的核心。

②理论联系实际是命题热点，随着我国航天事业的迅速发展，特别是“神舟”五号、六号载人航天的成功，以及预定在2007年发射探月球卫星。联系以上有关实际，考查飞船的发射、定轨运行、变轨运行、返回等等是高考命题的一种趋势。

③考查获取信息的能力。虽然有些知识是

前沿知识，但是，通过获取题目给出一些有效的信息，利用已学过的有关知识，经过推理、分析同样可以求解。如：“宇宙膨胀说”、“中子星”、“黑洞”等等。

④考查对各种模型的理解，近地卫星、同步卫星、赤道上静止不动的物体、双星系统等等。

⑤考查对规律的发展，发展过程的分析理解。如：引力常量的测定、新星的发现、万有引力定律的发展，等等。

⑥考查综合应用的能力，以天体运动为背景与其他学科综合以及与一些新的前沿知识联系起来的有关问题，也是高考命题的一种趋势。

⑦估算题型也是一种常考题型，这类题型能很好考查学生的建模能力及寻找隐含条件的能力。

⑧以天体运动为载体将动量，能量的观点联系在一起是本章的重要特点之一。

2. 趋势预测

万有引力与航天在历年的段考试卷命题中必不可少，但是本考点知识内容较少，所以备考中容易掌握。但是由于我国航天事业的突飞猛进，命题素材可以说是层出不穷，素材多命题越来越灵活，考察形式已经不再是简单的卫星线速度角速度周期的问题，而且涉及到其他天体运动与地球太阳月亮的运动关系或者同步卫星地球关系的类比而估算其他天体的质量周期等，其中隐含有同步卫星周期，月球绕地球运动周期和地球绕太阳运行周期等常识问题。纵观近几年年全国各地段考试卷关于该考点的考察，对于通过万有引力定律找到重力加速度，从而根据重力加速度分析其他运动过程的问题，把万有引力定律和自由落体运动和单摆运动联系起来是一个命题方向，还有根据天体运动的线速度，轨道半径和周能势能联系起来也是考察的一个亮点。天体密度的计算，同一中心天体不同环绕天体之间的追击相遇问题也都是一个考察的要点。

五、复习策略

“万有引力与航天”是牛顿运动定律和万有引力定律完美结合并应用于实际问题的典范。在高考中，基本上以选择题形式命题，难度偏高，主要考查学生的分析综合能力。在复习中，我们认为抓好以下几个基础性的问题,能够逐步提高难度与高考匹配。

1.“圆周运动”规律破解公转模型

学以致用是课标主要的理念，所以围绕万有引力理论的成就命题理所应当。具体思路为：

(1)万有引力提供向心力，即

（2）“黄金代换式”。忽略自转，天体对其表面物体的万 有引力近似等于物体的重力，即GMm/R2=mg 得GM=gR2。

“万冇引力”中的定量问题主要有两个方而。一个针对中心天体，涉及的物理量有质量和密度。如天体质量M=gR2/G，天体密度ρ=M/V=3g/4πGR;天体的质量M=4πR3/GT2;天体的密度ρ=M/V=3πr3/GT2R3；若天体表面运行时，可认为轨进半径r等于天体R,则天体密度ρ=3g/GT2(天体表面的重力加速度为g和天休半径为R，卫星绕天体做匀速圆周运动的周期为T和半径为r)。另一个就是围绕卫星或行星的运动量命题，可以定量，也可以定性分析比较等。

2.重力加速度"牵手”天地两物体

在天体上进行小型的科学探究，如让物体处于平衡态（mg=F），让物体做自由落体运动（h=gt²/2）；让物体做平抛运动（x=v₀t，h=gt²/2）；让物体做圆周运动等，找出重力加速度，利用黄金代换GM=gR2把“地上”与“天上”的物理量联系起来，实现天地归一。

3.卫星运行参量的比较与运算

1）卫星的各物理量随轨道半径变化的规律

（2）极地卫星和近地卫星

a. 极地卫星运行时每圈都经过南北两极，由于地球自转，极地卫星可以实现全球覆盖．

b. 近地卫星是在地球表面附近环绕地球做匀速圆周运动的卫星，其运行的轨道半径可近似认为等于地球的半径，其运行线速度约为7.9 km/s.

c. 两种卫星的轨道平面一定通过地球的球心．

4.“供需”辩证关系解读变轨模型

(1)卫星发射及变轨过程概述：

人造卫星的发射过程要经过多次变轨方可到达预定轨道，如图2所示。

①为了节省能量，在赤道上顺着 地球自转方向发射卫星到圆轨道 I上。

②在A点点火加速，由于速度变大，万有引力不足以提供向心力，卫星做离心运动进人椭圆轨道II。

③在B点(远地点)再次点火加速进入圆形轨道III。

(2)三个运行物理量的大小比较

①速度:设卫星在圆轨道I和III上运行时的速率分别v₁和v₃,在轨道II上过A和B点速率分别为v_A、v_B。在 A点加速，则v_A>v₁，在B点加速，则切v₃ > v_B，又因v₁ >v₃， 故有v_A>v₁>v₃> v_B.

②加速度:因为在A点，卫星只受到万有引力作用,故不论从轨道I还是轨道II上经过A点，卫星的加速度都相同，同理，经过B点加速度也相同。

③周期:设卫星在I、II、III轨道上运行周期分别为 T₁、T₂、T₃，轨道半径分别为r₁、r₂(半长轴）、r₃,由开普勒第三定律r3/T2=k可知T₁<T₂<T₃。

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