原文标题：数学“好玩”在于转化在解题中的积极作用
作者：冀庆超
作者单位：北京大学附属中学(100080)
《义务教育课程标准(2011年版)》中指出:“数学思想蕴涵在数学知识形成、发展和应用的过程中,是数学知识和方法在更高层次上的抽象与概括”。转化思想是重要的数学思想,在解题中利用转化思想对解题有积极的作用.接下来就以具体问题让学生感受转化思想的魅力:
题目呈现
例题
如图1所示，点P位于等边△ ABC 的内部，且 ∠ACP= ∠CBP.
(1)∠BPC的度数为_______;
(2)延长BP至点D，使得PD=PC,连接AD,CD.
①依题意，补全图形;
②证明:AD CD=BD;
(3)在(2)的条件下，若BD的长为2,求四边形 ABCD的面积.
解题思路【分析问题】 解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会添加常用辅助线,利用转化的思想解决问题.
(1)根据等边三角形的性质解答即可;
(2)①利用射线的作法得出D点位置,并连接AD,CD.
②利用全等三角形的判定和性质以及等边三角形的性质证明即可;
(3)关键是利用四边形问题转化成三角形问题进行解决.
一张图后为大家揭晓答案：
【解决问题】(1)解:∵ΔABC是等边三角形，∴∠ACB= 60° ,∴∠PCA ∠PCB=60° , ∵∠PCA=∠CBP ,∴∠PCB ∠PBC=60° ∴∠BPC=180°-60°=120°,故答案为120°.
(2)①解:如图2所示，
②证明:∵∠CPD=180° －∠BPC=60°，PD=PC，
∴△CDP是等边三角形，∴ CD=CP，∠DCP= ∠ACB=60°，
∴∠DCA=∠PCB ，
∵CA=CB,
∴ △ DCA≌Δ PCB，∴ AD=PB，
∴BD=PB PD=AD DC.
(3)解:
方法1:将四边形问题转化成两个三角形问题,利用整体代换的思想解决问题.
如图3，作BM⊥DA于M，BN⊥DC的延长线于N.
∵∠ADB=∠ADC－∠PDC=60°，
∴∠ADB=∠BDC=60°.
∴BM=BN=BD·sin 60° =√3 .
∴S四边形ABCD=S△BDC S△BDA
方法2:将四边形问题转化成两个三角形问题,利用整体代换的思想解决问题.
如图4,作CM⊥BD于M，AN⊥BD于N.
∵∠CDP=∠ADP=60°,
∴CM=CD·sin 60°,
AN=AD·sin 60°,
∴S四边形ABCD=S△BDC S△BDA
方法3:将四边形问题转化成一个三角形问题,利用截长补短的思想解决问题.
如图5,延长DC,在DC的延长线截取 CE=AD.
由(2)可知BD=AD CD,∵DE=CE CD,
CE=AD,
∴BD=DE.
∵∠ADC=60°，
∴△BDE是等边三角形
∴BD=BE.∵等边ΔABC,∴BA=BC ，
∴ΔABD≌ΔBCE.
∴S四边形ABCD=S△BDE = √3.
数学知识的发生、发展的过程，也是数学思想发生的凸显的过程.在解题中重视数学思想，会起到事半功倍的效果.通过解决上述问题，发现最关键的是利用转化的思想，将四边形问题转化成三角形问题，进而解决问题.让学生真正体会到数学“好玩”在于解题中的转化作用.
文章来源：
中小学数学 2022年1-2月中旬(初中)第22页
阅读原文以下是原文截图。
本文的例题是由等边三角形内的一个点引发延伸推出的。老师的解析非常精彩，过程中重视数学思想的渗透，为同学们提供了丰富的营养，让人受益匪浅。
数学课最重要的东西是什么？我认为比老师传授的知识点更重要的是学会如何思考问题，掌握思考问题的方法。
我们学过的知识因为长时间不用，很多都遗忘了，我希望思考问题的方法大家都还记得。
什么是教育？在受过教育之后，学到的知识都快忘光了，这时剩下的东西就是你所接受的教育。
大家有没有思考过这样的问题：等边三角形内有一个动点，但是无论动点怎样运动，有一个量始终不变。
如果你认真思考并找到答案，就能够深刻体会到中学数学老师说过的一句话：三角形的王者是等边三角形。
有一个经济学家打电话请教美国几何学家佩多，询问一个问题：等边三角形内一个动点无论怎样运动，该点到三边上的距离之和是否始终不变？
其实不用数学家出手，只需要请教八年级学生就能够得到满意的答复了。
下面我们直接给出结论，论证过程请大家脑补，自行再创造出来。
设等边三角形ABC内有一个动点P，该点到三角形的三边距离之和为a b c=s，三角形的高为h，则有以下结论：s=h
为什么等边三角形会如此特殊？被誉为三角形中的王者？原因何在？
因为等边三角形有一个重要性质：四心合一，也可以说四心重合。
问：哪四心？答：内心，外心，重心，垂心。
三角形还有一个特殊点，或者说是巧合点，那就是费马点。
普通三角形的费马点和重心是两个点，而等边三角形的费马点和重心重合。
什么是费马点？请看下图：
费马点
正等角中心(positive isogonal centre)也称为费马点，是三角形的巧合点之一。
上图所示的三角形是普通三角形，如果换成三角形中的王者——等边三角形(正三角形)，那么，重心和费马点就重合了。
有的好奇宝宝可能会问，老师，有没有负等角中心？答：如你所愿，有的，请看下图。
数学辞海第一卷截图
接下来，我们探究一个问题，等边三角形内的动点p在运动过程中，它到三角形的三个顶点的距离之和是否为定值？
答：不是定值。
问：这个值的极值如何求？
答：设三角形的边长为a，高为h，有以下结论：
①当p点与三角形的顶点重合时，这个值为2a；
②当p点位于一条边的中点时，这个值为a h；
③当p点位于三角形的重心时，这个值取最小值：2h.
显然，a>h.
科学尚未普及，媒体还需努力。感谢阅读，再见。
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