这篇文章适合三年级及三年级以上的学生及学生家长，小学教师，中学老师； 及任何童心未泯的老儿童，青壮年。
一般的孩子在学习计数时大都会喜欢这个新颖的游戏。也许有些孩子在背诵乘法表时没有如所你希望的那么快， 但事实是：要在这个世界上找几个不记得乘法表的人也是很困难的。或早或晚，孩子们都会记住9×9乘法表。我们也相信，到了三年级，没几个孩子会坚持把10个3一个一个加起来，而不理解这其实就是3个10，就是30。基于这些思考，我们不是完全领会：为什么我们不在孩子们学习了乘法表以后（三年级的第二个学期）就告诉它们加法和乘法运算满足三条运算法则。
加法，乘法的三个基本运算法则
一种可能性是：孩子们还没学习英文字母，对用字母表示的公式不能理解。这个猜测好像也不成立，美国的教材及现在很有名的新加坡数学教材也没有及时地跟孩子们讲授这三个法则。注意到的是，这三个运算法则（首先对自然数成立）对接下来引入的新数（负数，分数，无理数以及复数）都成立。不仅如此，这些法则对我们理解新引入的数也至关重要。
我们也注意到，学习分数的定义和运算是很多孩子在学习数学的旅程中碰到的第一个大挑战。 缺乏对以上运算法则的理解和掌握也许是这些学生在学习分数时感到比较吃力的主要原因之一。
几乎所有的教材在引入分数及介绍分数运算时至少有两个很疑惑的地方。（1）没有把分数同整数除法（或倒数）直接联系起来。学生会花很长一段时间才能领悟m/n就是m÷n, 也与m倍的1/n 是一样的。 (2) 运用算术运算的固定运算次序，先介绍分数的加减，后介绍分数的乘除。事实上，一方面分数本身已经有乘除运算了。还强调先做加减后做乘除在逻辑上讲不通。另一方面，在介绍不同分母的分数相加时，又不得不介绍等价分数。如伍鸿熙教授早就指出的：没有介绍分数的乘法，等价分数的引进也是有漏洞的。
等价分数的引入已经用到了分数相乘
在诸子数学第一册《代数入门》里， 这两个疑惑不复存在。首先我们作如下定义。
分数的定义与除法（或倒数）有关
习惯上我们也称1/n是非零整数n的倒数（倒过来的数，这里中文翻译reciprocal为倒数太绝了）。上面定义也指明：除以一个非零数就是乘以这个数的倒数。
有了以上的定义，我们很容易就可以得到分数乘法的第一个法则。
特殊分数的乘法公式
（公式1）可以这样验证： 我们只要能验证nm 的倒数是1/n×1/m就可以了。这比较容易证，用一下乘法交换律,结合律及分数的定义即可（你能看出来我们什么地方用了交换律，哪里用了结合律，哪里用了分数的定义吗？）。
由（公式1）及分数的定义（定义1），我们就可以推导出一般的分数乘法公式(自己试试推导吧)。
分数乘法的一般公式
学习了分数的乘法后，我们再来看分数的加法。首先对同分母的两个分数，我们有：
同分母分数相加
运用一下分数的定义及分配律即可验证（公式3）：
对不同分母的分数，使用分数乘法我们可以得到两个同分母的分数，然后运用（公式3）就可以把它们加起来了。
分数加法的一般公式
如何把所得分数再进一步化简那是另一个问题了（要用到基于算术基本定理的整数的分解性质），这里不再累述。
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