二次函数最值
二次函数是初中解析几何中最重要的特殊函数。一般地，形如y＝ax²＋bx＋c（a、b、c是常数，且a≠0）的函数，叫做二次函数。它的图像是一条抛物线，如果a＜0，则抛物线开口向下，y可以在x＝b/2a处取得最大值；如果a＞0，y可以在x＝-b/2a处取得最小值。
但在公考中，给出的方程往往可以写成y=c（a x）（a-x）这种形式，其中a、b、c都是常数。这种形式下当a x=b-x的时候y取得最大值，注意此时x的系数必须是1、-1。
公考中往往会在这几种情形下应用二次函数及其最值：
（1）求最大利润；
（2）求最大面积；
（3）求其它最值。
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求最大利润
下面我们一起来看几道例题：
【例1】（2020江苏）
某商品的进货单价为80元，销售单价为100元，每天可售出120件，已知销售单价每降低1元，每天可多售出20件。若要实现该商品的销售利润最大化，则销售单价应降低的金额是：
A.5元 B.6元 C.7元 D.8元
【解析】
第一步，本题考查经济利润问题。
第二步，设降低的金额为n元，即降了n个1元，则每件利润变为100－80－n=20－n。由题意有（20－n）×（120 20n）=20（20－n）（6 n），此式在20－n=6 n的时候最大，即n=7。因此，选择C选项。
【例2】（2019年重庆）
某网站销售10个不同档次的衬衣，其中最高档的每年销售500件，每件利润为300元。往下每降低1个档次，每年销量增加1000件，每件利润降低30元。问全年总利润最高的3个档次的衬衣，全年销量之和多少万件？
A.1.05 B.1.50 C.1.65 D.1.80
【解析】
第一步，本题考查经济利润问题，属于最值优化类。
第二步，10个档次从高到低分别为1—10档，设降了n档，则利润为（300－30n）元，销量为（500 1000n）件。总利润为（300－30n）×（500 1000n）=30000（10－n）×（0.5 n），此式在10－n=0.5 n时取得最大值，此时n=4.75。由于n只能取整数，且总利润的表达式为开口向下的抛物线，所以n离峰值4.75的距离越近总利润就越高，故总利润最高的三个档次的衬衣，对应的n分别为4、5、6，此时销量和为（500 1000×5）×3=16500（件），即1.65万件。因此，选择C选项。
【小结】
可以发现，类似的题目解题有一个固定的套路：售价变动、销量跟着变动，而利润跟二者的乘积相关，因此列出表达式，直接令a x=b-x，即可求得销量，或者利润最值。
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求最大面积
而最大面积的求法，也是非常类似的。下面我们一起来看几道例题：
【例3】（2017联考）
妈妈为了给过生日的小东一个惊喜，在一底面半径为20cm，高为60cm的圆锥形生日帽内藏了一个圆柱形礼物盒。为了不让小东事先发现礼物盒，该礼物盒的侧面积最大为多少？
A.600πcm² B.640πcm² C.800πcm² D.1200πcm²
【解析】
如剖面图所示，设圆柱的半径OG为r，高EG为h，△CGE∽△COA，根据相似比可知
，化简得到h＝60－3r。
圆柱侧面积S＝2πrh＝2πr(60－3r)=6πr(20－r)，当r＝20-r＝10cm时，侧面积S＝600πcm²，取得最大值。因此，选择A选项。
【小结】
最大面积的求法往往要用到几何性质从而得出二次表达式，难度较大，但只要掌握了二次函数最值套路，题目一般都可以迎刃而解。
【例4】（2020联考）
村民陶某承包一长方形地块，他将地分割成如图所示的A、B、C、D四个地块，其中A、B、C的周长分别是20米、24米、28米，D的最大面积是多少平方米？
A.42 B.49 C.64 D.81
【解析】
解法一：
第一步，本题考查几何问题，属于平面几何类，用方程法解题。
第二步，设A的长和宽分别为x、y，由长方形A周长为20米，可得x＋y＝10；由长方形B周长24米，且长方形B与长方形A的长相同，可得B的长和宽分别为x、y 2；由长方形C周长28米，且长方形C与长方形A的宽相同，可得C的长和宽分别为x 4、y。那么长方形D的面积S=（x 4）（y 2）＝（x＋4）（10－x＋2）＝（x＋4）（12－x），当且仅当x＋4＝12－x，即x＝4时S取最大值，此时S＝64，故长方形D的最大面积为64平方米。因此，选择C选项。
解法二：
第一步，本题考查几何问题，属于平面几何类，用几何性质解题。
第二步，如图所示，由于C的周长比A多28－20=8，与D比B多的周长一致，可知D的周长为24 8=32。
第三步，周长一定，越接近正方形面积越大，故D为正方形时即边长为8时面积最大，此时面积等于8×8＝64。因此，选择C选项。
可以发现，几何中这一类最值，可以使用这个理论，往往也可以使用几何的性质求解。因此对于这类难题，还要心态稳定、知识熟练。
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