外切圆面积计算方法（圆面积公式推导）

先来看看效果：

• 拉动第一个滑动条，即选择将圆平均分成为多少份扇形。
• 拉动第二个滑动条，则有对圆进行切割并拼接的效果。
• 拼接完会显示第三个滑动条，向右拉动就可以显示提示。

想知道怎么做出以上效果吗？想自己动手做一做吗？

思路与指令

这个推导过程可分三步走：

1. 先制作圆周弹开。
2. 在圆周取等分点，再由此构造等分的扇形。
3. 最后将右半部分的扇形进行旋转。

于是：

似懂非懂？那就接着看吧！

圆周弹开

可以直接在之前的“圆周弹开”源文件上进行制作。

五条指令搞定的“圆周弹开”

其实就是输入这五条指令：

A = (0, 0)

r = 1

α = 滑动条(45.0001°, 89.9999°)

B = A (0, r tan(α))

c = 圆弧(B, A, 旋转(A, 2π r / 距离(B, A), B))

详细解释，请见《砰！圆周弹开》。

注：滑动条（Slider）、圆弧（CircularArc）、旋转（Rotate）、距离（Distance）。

构造扇形

先对圆弧c进行n等分，其中，n必须是偶数（使得最终在上面、下面的扇形个数一样）。那么，让滑动条n的增量为2即可：

n = 滑动条(4, 40, 2)

由此，就可以构造出来n等分点（包括两端点）：

l1 = 序列(描点(c, k), k, 0, 1, 1 / n)

注：序列指令等的解读。

那么，扇形如何构造呢？

由上图，发现这些扇形的圆心好像都在一段圆弧上！由此入手——这些扇形的半径、弧长相等，所以，这些扇形的圆心必定在一段圆弧上，假设在圆弧c'上。那么：

• c'的圆心也是点B；
• c'与圆弧c等距，距离为r；
• 由此可借助位似指令构造c'，至于位似比应为1 - 1 / tan(α)。

于是可将c'构造出来：

c' = 位似(c, 1 - 1 / tan(α), B)

圆扇形( <圆心>, <点1>, <点2> )

那么扇形对应的圆心呢？

扇形的点1、点2是圆弧c的n等分点，而对应的圆心应是圆弧c'的2n等分点。

于是，可以将圆弧c'的所有2n等分点构造出来，需要用到哪个点再拿出来用：

l2 = 序列(描点(c', k), k, 0, 1, 1 / (2n))

l3 = 序列(圆扇形(l2(2k), l1(k), l1(k 1)), k, 1, n / 2)

l4 = 序列(圆扇形(l2(2k), l1(k), l1(k 1)), k, n / 2 1, n)

备注：l2(2k)表示列表l2的第2k个元素，相当于元素(l2, 2k)。

上面是第一种方法，也可以用第二种方法——需要哪些点，就只构造哪些点：

l2 = 序列(描点(c', k), k, 1 / (2n), 1, 1 / n)

l3 = 序列(圆扇形(l2(k), l1(k), l1(k 1)), k, 1, n / 2)

l4 = 序列(圆扇形(l2(k), l1(k), l1(k 1)), k, n / 2 1, n)

注：序列（Sequence）、描点（Point）、位似（Dilate）、圆扇形（CircularSector）。

旋转扇形

旋转中心就是最右边的蓝色扇形的右边的半径的中点，所以：

若用第一种方法，则：

C = 中点(l2(n), l1(n / 2 1))

若用第二种方法，则：

C = 中点(l1(n), l2(1))

于是旋转效果也可以做出来了：

t = 滑动条(-1, 1, 0.001)

t' = 如果(t < 0, 0, t)

l4' = 旋转(l4, t' * 180°, C)

其中，t'取值范围是由0到1，使旋转得以动态化。不过，为什么要写得这么麻烦呢？这是为了让t < 0的时候，可以控制α的变化，使得只需拉动滑动条t就可以演示动画。于是，还需更改下α的定义，即：

α = 如果(t == -1, 45.0001°, t ≥ 0, 89.9999°, 45° (t 2))

注：中点（Midpoint）、如果（If）。

文本与美化

最后，为了效果更佳，可以设置一下滑动条的标题，并作几个文本。

指令	显示条件
设置标题(n, "$\huge %v份$")
设置标题(t, "$\huge 切割、拼接$")
m = 滑动条(0, 2, 1)	t == 1
设置标题(m, "$\huge 提示$")
text1 = "r"	m > 0
text2 = " πr"	m > 0
text3 = "S= πr^2"	m == 2
text4 = "\bgcolor{#FFC0CB}{\ 圆的面积\ }"

为了在未完成拼接时，都不显示提示滑动条——在滑动条t的更新时脚本写上：

如果(t<1,赋值(m,0))

注：赋值（SetValue）、设置标题（SetCaption）。

结语

至此，整个制作就完成了！

感兴趣的老师，可以试一试如何完成这种更对应课本的效果：

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如需源文件，请转发本文，并写上：

很可以！圆面积公式推导

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