x除以1-x的不定积分（不定积分3x-6）

不定积分∫(3x-6)dx/(x^3 1)的计算

主要内容：

本文通过分母因式分解及积分函数裂项等方面，以及对数函数、反正切函数等的导数公式等知识，介绍计算∫(3x-6)dx/(x^3 1)的主要步骤。

主要过程：※.积分函数的变形

因为x^3 1=(x 1)(x^2-x 1),

所以∫(3x-6)dx/(x^3 1)=∫(3x-6)dx/[(x 1)(x^2-x 1)],

设(3x-6)/[(x 1)(x^2-x 1)]=m/(x 1)-(mx n)/(x^2-x 1),则有：

3x-6=m(x^2-x 1)-(mx n)(x 1)=-(2m n)x m-n,

根据对应项系数相等，有：

-(2m n)=3,

m-n=-6，

解该二元一次方程可得：m=-3,n=3.

此时不定积分变形为：

∫(3x-6)dx/(x^3 1)

=-3∫dx/(x 1)- 1/3*∫(-9x 9)dx/(x^2-x 1)

=-3∫dx/(x 1) ∫(3x-3)dx/(x^2-x 1)。

※.函数积分具体计算：

对∫dx/(x 1)=∫d(x 1)/(x 1)=ln|x 1|;.

对∫(3x-3)dx/(x^2-x 1)

=1/2*∫3 (2x-1)-3]dx/(x^2-x 1)

=1/2*3∫(2x-1)dx/(x^2-x 1)-3/2*∫dx/(x^2-x 1)

=1/2*3∫d(x^2-x 1)/(x^2-x 1)-3/2∫dx/[(x-1/2)^2 3/4],

=1/2*3*ln(x^2-x 1)-3/2*4/3*∫dx/[4/3(x-1/2)^2 1],

=1/2*3*ln(x^2-x 1)-3/2*2/√3*∫d[2/√3(x-1/2)]/{[2/√3(x-1/2)]^2 1},

=1/2*3*ln(x^2-x 1)-3/√3*arctan[2/√3(x-1/2)],

所以：

∫(3x-6) dx/(x^3 1)

=-3* ln|x 1| 3*ln√(x^2-x 1)-3/√3*arctan[2/√3(x-1/2)] C，

=-3*ln|√(x^2-x 1)/ (x 1)|-3/√3*arctan[2/√3(x-1/2)] C。

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