我们先整理一下此题中出现的数学词汇，包括“实数”、“比值”、“根号”、“值域”。
从这些词汇中，我们可以挖掘出解题的关键信号：比值、根号、值域。
任何一个关键信号都是一条解题线索，从任意关键信号出发，都可以指引我们找到答案！
- 比值 联想到 斜率和数形结合
- 根号 联想到 三角函数
- 值域 联想到 导数和单调性
思路有了，我们开始下手吧[灵光一闪]
解法一（高一水平）
关键信号：比值
有比值的地方常常伴随着斜率。这里我们用数形结合的方法。
因为为圆方程。
原式可以改写为
又因为，
所以原式的几何意义为四分之一圆（第一象限）上一点与定点的斜率范围。即下图中射线逆时针转到所扫描到的斜率范围。
解法二（高二水平）
关键信号：根号
有根号的地方常常伴随着三角函数。这里我们尝试三角换元法。
即
因为为圆方程。
令，则,
则
利用三角函数万能公式：
令，因为，所以,代入得
令，因为，所以
有
解法三（高三水平）
关键信号：值域
求值域的地方常常伴随导数和单调性。这里我们用求导数的方法。
预备知识：
- 函数商的求导法则：
- 复合函数求导法则：，即
整理得
在定义域内，上式分子恒小于0，分母恒大于0。所以恒小于0。
所以该函数为严格单调递减函数。
因为，所以
当时，y取得最小值。当是，y取得最大值6。
。
如果你有更多方法，快加入评论区讨论吧！[耶]
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