0. 对称性、奇偶性与周期性之间的关系
1) 奇偶性是对称性的特殊情形，即对称轴为y轴或对称中心为原点，图像在平面坐标系中位于中心或中间。这意味着有一些特殊性质，如对称点横坐标之和为0等。
2) 周期性是对称性的另一种特殊情形，即对称轴、对称中心不止一个。
3) 提示：相对于单调性和奇偶性的应用，涉及对称性和周期性的应用更困难些。
1. 基本问题说明
一般地，已知某函数模型，分析、判定其奇偶性、对称性或周期性；或者反过来，根据已知的函数奇偶性、对称性和周期性，转化为相关代数关系，以求解待求问题（如参数值范围）。
这是一类比较常见的基础应用，既可以单独以选择题或填空题出现，也经常出现在求解析式、值域、参数问题与解不等式等题型中。
其中，周期性虽可看作对称性一种特殊情形，但一般考查‘周期性’为主，如求隐含周期性的函数f(2019)值、三角函数问题等。
1) 解决奇偶性问题的一般方法
① 定义法
上图中，若先以对称轴b为轴，可得轴a的对称部分轴1；再以对称轴a为轴，可得轴b和1的对称部分轴2和3……以此类推，图像不断朝两侧扩展而得到完整的图像（需要一点理解和想象能力。若有困难，可在正弦图像上推衍一下），并直观地看到一个周期函数，周期为2|b-a|。
双对称中心、一个对称中心与一个对称轴的情况也一样，即两轴或一中心一轴交替出现在图像上。但是，因为每个对称中心两侧图像会上下翻转，所以一个周期至少有两个对称中心（即连续翻转两次可使图像复原），所以双对称中心时周期为2|b-a|，一个对称中心与一个对称轴时周期为4|b-a|（即必须有两个对称中心）。
提示并思考：理解上图画法及其原理说明，同学们记住这几个结论不再困难了，也不易搞混这几个结论了，所以“勤于思考、乐于动手、善于总结”，才能轻快学习！
提示2：一般地，“（自变量）同号看周期、异号看对称”。
⑤ 函数的自对称与两个(复合)函数相互对称之辨析
不要把函数的自对称与两个函数相互对称搞混淆了。前者时，两个函数表达式实为同一函数上两不同点，把它们的中间变量相加除2即得函数的对称轴所在；而后者时，两个函数表达式实为两个不同函数上的点，由它们的中间变量相等而解得的x即为两函数的对称轴所在。
上面文字说起来有些抽象，看一个例题就明白了：
提示：两个函数关于某轴对称的解题一般方法也要类似地先确定对称轴，再根据对称相关性质求解。
3) 解决周期性问题的一般方法
周期问题一般要先明确或求出周期，再利用周期性质来求解。
① 定义法
两个相等复合函数的中间变量相减为定值，即f(x) = f(x T), 且nT均为其周期。
② 变式
f(x) = -f(x a)、f (x) =±1/f(x a), f(x a)=(f(x-a), f(x a)=(1-f(x))/(1 f(x)) 等的周期均为2a。（学会推导）。
提示：当函数等量关系的自变量差值为定值时，一般可推出其周期！推导一般方法——观察,若已知式中自变量之间差值为d，可先试着推出f(x)或f(x 2d)的式子。
4) 典型例题
讲解：
① 本题为利用单调性求参数范围之题型。解题过程中务必抓住要点，即紧扣奇偶性的概念和性质。
② 实际上，本题的题目及其解题过程实际上代表了抽象函数的典型应用之一,即在函数表达式未知的情况下，可利用抽象函数的性质（如单调性、奇偶性等），使函数值域间关系与自变量（含复合函数之中间变量）间关系按需转化（即正推或逆推）后，可便捷地解题。比如，已知单调性，又知道两抽象函数式间大小关系，则其对应的自变量间的大小关系；反之亦然。
例2已知函数f(x)是R上不恒为0的偶函数，且对任意x均有：xf(x 1)=(1 x)f(x)，则f(3/2)的值是___。
A.0 B. 1/2 C.1 D.1/5
解：由于：f(x 1)/f(x)=(1 x)/x,
则令f(-1 1)=0, 则：f(x)是实数集, 则有：f(x 1)/f(x)=(1 x)/x,
令f(3/2)=3f(1/2),
令f(1/2)=-f(-1/2),
又f(1/2)=f(-1/2), 则：f(1/2)=0,
∴f(3/2)=3f(1/2)后，就得求出f(1/2)表示出来；
c) 上一步得到了1/2和-1/2时可以考虑奇偶性来求解了。否则继续重复上两步类似得操作，直至可求解。
讲解：
① 求已知函数关于某点或者某条直线的对称函数的一般方法（代入法）
假设待求函数上一点；
利用对称性，求出其对称点；
将对称点代入已知函数后即得解。
② 事实上，上述一般思路的处理方法也体现了有关对称问题的最基本方法（或最朴素的想法）——利用对称性，在未知上找出已知项的对称项，或在已知上找出未知项的对称项。然后在此基础上，再根据题型、条件差异灵活应变就不难了。
例4函数y＝f(x)(x≠0)是奇函数，且当x∈(0，＋∞)时是增函数，若f(1)＝0，求不等式f(x(x-1/2))<0的解集.
讲解：
① 本题为利用函数单调性和奇偶性求解函数值。详见例2的讲解。
② 题中0用已知的f(-1)或f(1)来替换的小技巧也用于恒等变换、解三角形等题型。同学平时多总结和运用常用的技巧和方法，坚持下去很快就会熟能生巧。
例5f（x）是定义在R上的偶函数，且g（x）是R上的奇函数，已知g（x）=f（x-1），且f(-2)=a（a为常数），则f（2002）=_____。
解：∵g（x）=f（x-1），
∴g(-x)=f(-x-1)=f(-(x 1))=f(x 1),又g(-x)=-g(x)=-f(x-1)
∴f(x 1) = -f(x-1)=-f(1-x)
∴f（x）的图像关于点（1，0）对称，
∵f（x）是定义在R上的偶函数，
∴f（x）的图像关于y轴对称．
∴f（x）是周期函数，4为周期．
∴f（2002）=f（2）=f（-2）=a。
讲解：
① 本题涉及函数奇偶性和（双）对称性。解题过程中要紧扣单调性和奇偶性的概念和性质。
② 本题的解答思考、分析过程分享（供参考）
f(2002)给了一个“明确”的暗示（至少优先这么思考）——有规律；
题目求解f(2002)，未涉及到g(x)，所以一般认为（或者说出题人的意图要）g(x)在题中作为媒介来帮助推导出f(x)的规律，这样解题过程中的变换方向也就清晰了。
例6定义在R上的函数f(x)满足f(x)f(x 2)=13,若f(1)=2,则f(99)=___。
解：∵f（x）f（x 2）=13（提示：类似f(99)一般都要找规律）
∴f（x 2）f（x 4）=13，
∴f（x 4）=f（x），
∴f（x）是一个周期为4的周期函数，
∴f（99）=f（4×25-1）=f（-1）= 13/f(1) = 13/2
例7定义在R上的函数f(x)既是奇函数又是周期函数，T是它的一个正周期，若将方程f(x)=0在闭区间[_T,T]上的根的个数记为n，则n可能为___。
A.0 B.1 C.3 D.5
