2021-4-23是个特殊的日子。世界读书日遇上了中国海军建军节。祝中国人民海军72岁生日快乐！
在这一天，收到了网购的《数学杂谈》(张景中院士献给数学爱好者的礼物)，迫不及待的开卷有益，果然受益匪浅。
分享一下书中的一个精彩段落：巧分生日蛋糕。
一块正方形的生日蛋糕(严格地说，是正四棱柱形的。由于这柱体的高相对较小，通常人们把它叫做方形蛋糕)，表面上涂有一层美味的奶油，要均匀地分给5个孩子，应当怎么切呢?
困难在于，不但要把它的体积分成5等份，同时要把表面积也分成5等份！
要是4个人分、8个人分就好了。不然，要是圆形的蛋糕，也就好了。偏偏是方形蛋糕5个人来分！
且慢抱怨！冷静地想一下，你会意外地发现，“方形”和“5人来分”这两个条件，并没有给你增加什么困难，解答是令人惊奇地平凡而简单：只要找出正方形的中心O，再把正方形的周界任意5 等分；设分点为A，B，C，D，E，作线段OA，OB，OC，OD，OE， 沿这些线段向着柱体的底垂直下刀，把它分成5个柱体便可以了。如图1-18，便是一种分法。(我们在图中标出了方形各边的5等分点，这就易于看出A，B，C，D，E是周界的5等分点了。)
要证明这种分法的正确性，只要用一下三角形面积公式和柱体体积公式就够了。由于中心O到4边距离相等，所以图中用虚线划分的小三角形都是等底等高的！剩下的，就是用人人皆知的公式，通过具体计算验证各块的体积相等，并且所附带的奶油面积也相等罢了。
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图1-18
这件事提醒我们：面对貌似困难的题目不要紧张，冷静下来，用你学过的基本知识去分析它，往往会发现它其实并不难。
让我们进一步想想：如果蛋糕是正三角形，或者是正六边形、正n边形，而且是m个人来分呢?你一定会毫不犹豫地回答：分法是一样的！
如果蛋糕是任意三角形的呢?也许你不那么有把握了吧！想一想：刚才能成功的关键是什么?是“方形中心到各边等距”。那么，三角形内有没有到各边等距的点呢?有，内切圆心就是！分法找到了：把三角形的周界分成5等分，把分点A，B，C，D，E分别和内心O连起来，沿这5条线段下刀就是。
但是，你会把任意三角形的周界5等分吗?这时，图1-18中先把各边5等分的办法显然不太适用了。你可以先把3边“拉”成一条线段，分好之后再搬回来。用规尺完成这个作图是容易的，如图1-19所示，这里不再用文字解释了。
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图1-19
图1-19
刚才我们用到了三角形的内心，这会使我们想到：任意的圆外切多边形也有“内心”，即它的内切圆心O；而O到外切多边形的各边也是等距的。这样一来，所有的圆外切多边形的蛋糕，都可以按照要求均分成m块了。方法仍然相同，比如，菱形蛋糕便可以这样来分。
通常吃的蛋糕的形状大致都是柱体的。如果一家食品公司别出心裁，做了一种金字塔形蛋糕，我们能够把它(连同它的表面积)均分成5块吗?
图1-20
金字塔形，就是正四棱锥形。它的分法仍然和前面的分法雷同。只要找出锥形的底的周界的5等分点，设分点为A，B，C，D，E ，把它们和锥顶点O连接起来。如图1-20，设O在锥底的正投影为O′，我们以△OO'A，△OO'B，△OO'C，△OO'D，△OO'E为剖面下刀，便可以满足要求了。
进一步思考，你会想到：如果棱锥的底面是圆外切多边形，而且棱锥顶点和底的内切圆圆心连线垂直于底面的话，仍可以依样画葫芦地均分成若干块。因为，利用勾股定理和立体几何里的“三垂线定理”容易验证：棱锥各侧面三角形的高相等。另外，底面内心仍和底的各边等距。
回顾一下，我们从开始到现在，一步一步已走得不近了；但每步并不太费力。这样一小步一小步地向前挪动，可以使你从简单情况出发，解决相当困难的问题。不信，你可以试问一位爱好数学的朋友：
“怎样把正四面体形的蛋糕均匀地分成5块，同时使表面上的奶油也分得均匀?”
十之八九，他会觉得这是个难题。甚至他很难一下子相信你告诉他的解答(如上述)是正确的！但对于你，这个问题已了如指掌了。
但是，这样的分法并非无往而不胜！如果是一块长和宽不相等的矩形蛋糕，就会让我们碰钉子。不过，也不是没有办法。设矩形的长为a，宽为b，下面提供的方法可以把它均分成5块(如图1-21)。注意，别忘了表面积也要分均匀。
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图1-21
图1-21
说明如下：4块带“﹡”的部分都是全等的四边形，因而只要计算一下中间的六边形 ABCDEF有关的蛋糕的量。设蛋糕高为h，则：
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恰好符合要求。
最后，试问一下：怎样把矩形蛋糕均分为7块,9块,10块，m块?(请参考图1-21，也有别的方法。)
专家的盲点为什么说①圆形蛋糕比正方形好分？②为什么说5个人不好分？
答：①圆形蛋糕只需要找圆心切成n个扇形，每个扇形圆心角度数相等，就可以分给n个人。圆心角θ=360÷n
②因为5是个充分大的质数，所以不好分。2虽然是质数，但太小了。同理，7个人，11个人，13个人，17个人，19个人都不好分，因为是质数。
8个人好分，正方形有4条对称轴，像英国国旗米字旗那样分就可以了。6个人也好分，把正方形水平方向3等分，纵向两等分，然后纬线方向沿等分点切一刀，经线方向沿等分点切两刀，就大功告成。合数比质数好分。
总结一下开场故事的方法：把正方形周长5等分，重心连接等分点，即完成正方形的等面积分割。
其实分蛋糕很简单，还有更简单的，没有技术含量的方法。在这里出现了专家的盲点。我猜想小学生一定不会想不到这个简单的方法，拿开场故事的题目去考，果然印证了我的想法。
兰塞姆巧分正方形这个方法在美国科普大师马丁·加德纳的著作《啊哈！灵机一动》中也出现过。这本书原著1978年在美国出版，80年代引进国内，有中文版。
下面我们来看看大师著作的几何剖分难题。请看下图：
兰塞姆的第一个问题
巧妙的划分
兰塞姆是一个测量员，擅长把奇形怪状的地皮划分成一些全等的部分。(旗帜上的文字：天下第一)
一次，请他把这块地皮划成四个全等的部分。你想他是如何解决的。
第2个和第3个问题
这是唯一的解法。
兰塞姆的下一个任务是把这块地皮分成四个全等的部分。这事有点棘手。
然而，他几经努力终于找到了答案。
把一个正方形划分成四个全等的部分，这个问题对于兰塞姆来说易如反掌。但请他将此划分成五个全等的部分时，他一时感到为难。
兰塞姆：我想不出来。一定有一种方法。呣，啊哈！我明白了。
能猜出兰塞姆有了什么好主意吗？
(下图画出了兰塞姆的分法，虽然简单，但是奇怪的成为专家的盲点)
专家的盲点
(右侧中文是胡作玄的评注)
兰塞姆：真好笑。这种方法可把一个正方形划分成任意数目的全等的部分。
剖分理论你可把兰塞姆的三个问题考考你的朋友，以博一笑。前两个难题的解是些很奇特的形状。这些形状给人以一种微妙的启示：既然一个正方形无法分成五个正方形，那必定得分成五个特别的形状。很少有人想到这一显而易见的解法，令人好生奇怪。顺便提一下，把一个正方形分成5个全等的形状，仅此一种方法。
你把这个难题考过你的朋友之后，还可再给他或她试试与此有关的第四个问题。首先向你的朋友说明怎样把图11中的一块地分成四个全等的部分，再问能否把这块地分成三个全等的部分。
图11
你的朋友也许因为题目太难而很快泄气，曾记否兰塞姆把一个正方形分成五个等同部分的那种诀窍。你可向你的朋友说明如何运用这种诀窍使问题迎刃而解，他或他将会恍然大悟。图12为此问题的答案。如前一样，这方法显然也适用于把这块地皮分成任意个等同的部分。
图12
像切分乳酪问题那样的难题一样，上述问题也属于所谓剖分理论，它是趣味数学中丰富多彩的一个分支。许多平面几何和立体几何中的实际问题的求解，可以从中得到有益的启示。兰塞姆的前两个问题特别令人感到兴趣，因为每块地皮是被分成与原先形状相同的若干块。形状具有这种性质的称为重复花样。
图13
图13又展示了几种重复花样。你能否把每种形状分成若干与此形状相同的部分？显然，若拥有源源不断的重复花样，你便能非周期性地铺成一个平面。例如，考虑一个兰塞姆第一次所解的那种 L形重复花样，四个这样的L形可组成一个大的L形花样，四个大L形又可组成一个更大的L形花样，依次重复下去可铺成一个无穷大的平面。请注意我们也可按相反方向无限重复下去，把每一个L形分成四个较小的L形，再把这四个L形分成更小的L形，直至无穷小。
关于重复花样所知甚少。已知的重复花样也可周期性的铺成平面，这就是说，在所铺成的平面中有一种基本图形，它们以平移面非旋转或反射的方式组成平面。是否存在一种无法进行周期性铺面的重复花样？这是铺砌理论中一个著名的悬而未决的问题。
图14
如果被分成的若干全等图形并不要求与原先的地皮形状相同，还可提出许多别的非同一般的问题。例如图14是一个由五个单位正方形组成的T形。这个T形无法分成四个更小的T形，但你能否将其分成四个某种形状的全等部分？
图15.1
甚至把一个平面图形分成两个全等部分也可能是困难的。图15是一些你可能会感兴趣的例子，其解请见书末。
图15.2
在剖分理论中还有一个优美的分支，它涉及把一个已知多边形分成个数最少的任意形状的部分，使这些部分能够重新组成所规定的另一个多边形。例如，一个正方形最少需分成几部分以重新组成一个等边三角形(答案是4)。哈里·林格伦所著的《几何剖分趣味问题及其解法》一书极为生动地叙述了这方面的内容。
答案和注释第三章节和第四章节摘自《啊哈！灵机一动》。作者是马丁·加德纳(1914～2010)，美国著名科普作家。他写了《啊哈！灵机一动》被译为法文、德文、俄文、日文等多种外文。中译本《啊哈！灵机一动》(白英彩、崔良沂译)于1981年由上海科学技术文献出版社出版。
胡作玄(评点人)：男，现任中国科学院系统科学研究所研究员。1957年毕业于北京大学。主要研究方向为数学及科学史。著有《20世纪数学思想》、《近代数学史》等专著。译著有《数学概观》、《罗素自传Ⅰ》等。1979～1984年担任《科学美国人》“数学游戏”专栏翻译。
张景中院士是我国著名数学家、计算机专家，曾任中国科普作家协会理事长。他的不讲数学理论，只讲数学思想，用日常生活中的浅显事例，向青少年普及数学的创作手法，是我国数学科普创作的一大飞跃。他的数学科普作品，不同于一般的科普读物，它不是简单的材料收集和整理，而是一个站在科学前沿的学者的真知灼见。因此，他写的科普读物高屋建瓴，常有画龙点睛，令人叫绝之笔。多年以来喜欢数学的读者无不渴望得到他的作品。张景中院士的科普作品是中国数学科普的旗帜，是中国数学科普最高水平的标志。
顺便说一下，著名数学家陈省身也期盼得到张景中的作品。
《数学杂谈》一书有18万字，314页，内容充实，精彩生动，引人入胜。很多章节非常精彩，例如。方格纸上的速算，再生的证明，三角园地的侧门，蝴蝶定理的新故事，怎样用坐标法诱发综合法，消点法浅谈，等等。书中还介绍了其他数学家的成果。
看到图14时联想到古典智力玩具：“T字之谜”。又称为四巧板，由四块不同形状的单元块组成：一个长直角梯形、一个短直角梯形、一个三角形、一个不规则五边形。
古典智力玩具
“T字之谜”是一种“少而精”的拼板，“少”指用的拼板少，“精”指拼出的图案很精彩。区区四块，却可以拼出上百种有意义的图案，是老少咸宜的休闲智力玩具。
新版和旧版图样对比
“T字之谜”是在七巧板的基础上改进得来的，从出现到完善经历了一个较长的时间，具体发明者目前尚未考证，或许它是经过许多人不断改进改善而得来。因此，也可以说是民间智慧的结晶。
你能够拼接出T字吗？
顺便说一下，兰塞姆的第一个问题图案称为L形，在我国称为磬折形。
答案请看下图：
剖分问题的答案
在《啊哈！灵机一动》书中，几何剖分问题有好几组，限于篇幅只摘录了第二组问题。
科学尚未普及，媒体还需努力。感谢阅读，再见。
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