什么是蝴蝶定理？我们先来看一下动图。
蝴蝶定理动态效果
上图是不是像一只蝴蝶扇动两只翅膀。
蝴蝶定理（Butterfly Theorem），是古代欧氏平面几何中最精彩的结果之一。这个命题最早出现在1815年，由W.G.霍纳提出证明。而“蝴蝶定理”这个名称最早出现在《美国数学月刊》1944年2月号，题目的图形像一只蝴蝶。这个定理的证法不胜枚举，至今仍然被数学爱好者研究，在考试中时有各种变形。
下面我们从以下几个方面来了解蝴蝶定理：
1、蝴蝶定理定义；
2、蝴蝶定理及其证明；
3、蝴蝶定理变形；
4、蝴蝶定理运用。
首先，我们来看蝴蝶定理是怎么定义的。
1、蝴蝶定理：AB是圆的一条弦，中点记为S，圆心为O，过S作任意两条弦CD、EF，分别交圆于C、D、E、F，连接CF、ED分别交AB于点M、N，求证：MS=NS。
蝴蝶定理：不管C、E点怎么在圆O上运动，始终有MS=NS。
2、蝴蝶定理及其证明
定理：如图，过圆中弦AB的中点M任引两弦CD和EF，连接CF和ED，分别交AB于P、Q，则PM=MQ。
蝴蝶定理证明途径：点Q与Q'重合
证明：过点M作直线AB的垂线I，作直线CF关于直线I的对称直线交圆于点C’、F’，交线段AB于点Q’。连接FF’、DF’、Q’F’、DQ’。据圆的性质和图形的对称性可知：
∠MF’Q’=∠MFP，∠F’Q’M=∠FPM；
且FF’//AB，PM=MQ’。
∵C、D、F’、F四点共圆，
∴∠CDF’ ∠CFF’=180°，
而由FF’//AB可得∠Q’PF ∠CFF’=180°，
∴∠CDF’=∠Q’PF，即∠MDF’=∠Q’PF，
又∵∠Q’PF=∠PQ’F’，即∠Q’PF=∠MQ’F’，
∴∠MDF’=∠MQ’F’。
这说明Q’、D、F’、M四点共圆，既得∠MF’Q’=∠Q’DM。
∵∠MF’Q’=∠MFP，
∴∠MFP=∠Q’DM。
而∠MFP=∠EDM，
∴∠EDM=∠Q’DM。
这说明点Q与点Q’重合，既得PM=MQ。
此定理还可用解析法来证明：
想法：设法证明直线DE和CF在x轴上的截距互为相反数。
证：以AB所在直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴建立直角坐标系，M点是坐标原点。
设直线DE、CF的方程分别为
x=m1y n1，x=m2y n2；
直线CD、EF的方程分别为
y=k1x，y=k2x。
则经过C、D、E、F四点的曲线系方程为
(y=k1x)(y-k2x) λ(x-m1y n1)(x-m2y n2)=0。
整理得
(λ k1k2)x2 (1 λm1m2)y2-[(k1 k2) λ(m1 m2)]xy-λ(n1 n2)x λ(n1m2 n2m1)y λn1n2=0。
由于C、D、E、F四点在一个圆上，说明上面方程表示的是一个圆，所以必须
λ k1k2=1 λm1m2≠0，
且(k1 k2) λ(m1 m2)=0。
若λ=0，则k1k2=1，k1 k2=0，这是不可能的，故λ≠0；
又y轴是弦AB的垂直平分线，则圆心应落在y轴上，故有λ(n1 n2)=0，从而得n1 n2=0。
这说明直线DE、CF在x轴上的截距互为相反数，既得PM=MQ。
注：利用曲线系方程解题是坐标法的一大特点，它可以较好地解决直线与曲线混杂在一起的问题。如本题，四条直线方程一经组合就魔术般地变成了圆方程，问题瞬息间得以解决，真是奇妙，运用它解题，不拘泥于小处，能够从整体上去考虑问题。
另外，待定系数法在其中扮演了非常重要的角色，需注意掌握其用法。
当然上述只列举了蝴蝶定理的两种证明，证明方法还有很多，如：霍纳证法、作图法、对称法、面积法、帕斯卡证法、相似法、射影法等不再一一列举，大家可以自己试试其它证明方法。
3、蝴蝶定理变形
（1）过圆中弦AB的中点M引任意两弦CD和EF，连接CE和DF分别交AB的延长线于Q、P，则PM=QM。
过圆中弦AB的中点M引任意两弦CD和EF，连接CE和DF分别交AB的延长线于Q、P，则PM=QM。
简证：作DJ//AB，
由平行弦的性质得：JM=DM；
∠AMD=∠JMQ；
又∠AMD ∠JDM=180°；
∠JDM=∠CEJ，∠CEJ ∠JEQ=180°；
推出∠JMQ=∠JEQ，
∴J、Q、E、M四点共圆；
推出∠CEF=MJQ=∠MDP
推出△PDM≌△QJM；
∴PM=QM。
（2）（圆外蝴蝶定理）AB为⊙O外一直线，OM⊥AB于M，过M任作两条割线CD、EF，CF与ED分别与AB交于P、Q，则PM=QM。
（圆外蝴蝶定理）AB为⊙O外一直线，OM⊥AB于M，过M任作两条割线CD、EF，CF与ED分别与AB交于P、Q，则PM=QM。
简证：作JE//AB，导角得：J、C、B、P四点共圆；
推出∠MJP=∠DCP=∠DFE；
推出△JMP≌△EMQ；
推出PM=QM。
（3）（退化形式）如图，PA是△ABC外接⊙O的切线，过点P作OP的垂线与直线AB，AC分别交于E，F。求证：PE=PF。
（退化形式）如图，PA是△ABC外接⊙O的切线，过点P作OP的垂线与直线AB，AC分别交于E，F。求证：PE=PF。
简证：作JB//EF；
由垂径定理可证：BP=JP；
∠BPF=∠JBP=∠BJP=∠JPE
∠JPF=∠BPE，
又∠JBP ∠JAC=180°，∠JBP ∠BPE=180°
∠JAC=∠JPF；
J、F、P、A四点共圆；
∠PAF=∠PJF；
又PA为切线∠PAF=∠PBE=∠PJF；
△JFP≌△BEP
PE=PF。
（4）（坎迪定理）如图，设AB是⊙O内一条弦，过AB上一点M任作两弦CD、EF，设CF、ED交AB于P、Q，并设AM=a，BM=b，PM=x，QM=y，则有
坎迪定理
简证：由共角定理得：
（5）M为圆内弦AB的中点，过圆内一点G引两条弦CD和EF，分别交AB于H、K，使得HM=MK，连接CF和ED，分别交AB于P、Q，那么PM=MQ。
M为圆内弦AB的中点，过圆内点G引弦CD和EF，交AB于H、K，使HM=MK，连接CF、ED，交AB于P、Q，那么PM=MQ。
此题证明方法留给读者思考。
（6）如图，H为锐角三角形ABC的垂心，D为BC的中心，过H垂直于DH的直线与边AB，AC分别交于点E，F。求证：HE=HF。
H为锐角三角形ABC的垂心，D为BC的中心，过H垂直于DH的直线与边AB，AC分别交于点E，F。求证：HE=HF
此题证明方法留给读者思考。
4、蝴蝶定理运用
（1）（2002年我爱数学初中生夏令营一试）如图，设AB、CD为⊙O的两直径，过B作PB⊥AB，并与CD延长线相交于点P，过P作直线与⊙O分别交于E、F两点，连结AE，AF分别与CD交于G，H。求证：OG=OH。
2002年我爱数学初中生夏令营一试
（2）（2011新加坡数学奥林匹克）在锐角非等腰Rt△ABC中，AB>AC，O，H分别为△ABC的外心和垂心，Q是AC上的点，且HQ的延长线与BC的延长线交于P，AD⊥BC于D，若BD=DP，求证：∠ODQ=90°。
2011新加坡数学奥林匹克
（3）（1990年IMO预选题）已知在锐角三角形ABC中BC>AC，O和H分别是△ABC的外心和垂心，CF是高，过点F且垂直于OF交AC于点P，证明：∠FHP=∠A。
1990年IMO预选题
（4）在锐角三角形ABC中，AM为BC边上的中线，BD⊥AC，CE⊥AB，过点A作AM的垂线交DE延长线于F，FA延长线交BC延长线于G，求证：AF=AG。
（5）如图，△ABC中，AB>AC，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，F为BC中点，AG⊥AF交DE延长线于G，连接GF，求证：AF平分∠GFC。
（6）如图，过点A作△ABC外接圆切线，交BC延长线于D，倍长CD至E，作EF//AC交BA延长线于F。求证：OD⊥DF。
（7）如图，已知AD是⊙O的直径，D是BC中点，AB，AC交⊙O于点E，F；EM，FM是⊙O的切线，EM，FM相交于点M，连接DM，求证：DM⊥BC。
