上图是一个求四棱锥内切球半径的问题。
球是曲面，曲面比平面看起来更复杂，所以有些同学看到立体几何里出现球就害怕，看到内切球就更害怕了。其实恐惧来自未知，掌握方法就不怕了。看完下面的方法，你会觉得这种题超简单！
求三角形内切圆半径问题与问题之间不是孤立的，各种题型和解法之间相互联系。在讲怎么求棱锥内切球半径之前，我们先来求三角形内切圆半径。
在△ABC中，作一个内切圆⊙O。三角形的内切圆是怎么定义的？是和三角形各边都相切的圆。相切就有切点，分别设为D、E、F。把圆心O和三个切点连起来，观察一下。
经过切点的半径垂直于切线，所以OD、OE、OF分别垂直于AB、BC、CA。
再把OA、OB、OC分别连起来，△ABC被分割成了3个三角形△OAB、△OBC、△OCA。
OD、OE、OF分别是△OAB、△OBC、△OCA的高。于是得出：
S(△ABC)=S(△OAB) S(△OBC) S(△OCA)
=½|AB|·|OD| ½|BC|·|OE| ½|CA|·|OF|
而|OD|=|OE|=|OF|=r，r为内切圆⊙O的半径
∴ S(△ABC)=½(|AB| |BC| |CA|)·r
上式中的|AB| |BC| |CA|，其实就是△ABC的周长。假如三角形周长用C表示，面积用S表示，公式就变得非常简洁：
S=½C·r
可以叙述为，三角形面积等于周长和内切圆半径乘积的一半。
注意，这里建立了三角形面积、周长、内切圆半径3个量之间的关系，已知其中任意两个就可以求出第三个。而且内切圆圆心在哪、切点在哪，都跟这个公式无关，也即不用作出内切圆就能直接运用这个公式。在解析几何题里如果看到内切圆，一定要想到这个公式！
如果把内切圆半径写在式子左边，公式就是：r=2S/C。
求棱锥内切球半径
有了上面的铺垫，再来看棱锥的内切球就简单了。
其实不用作出内切球就能运用最后的方法，但为了推导我们还是作出图来。图中内切球和各个面相切的切点在哪？不重要，在你的想象中看到就行了。
与三角形内切圆问题类似，我们把内切球球心O和四棱锥的5个顶点分别相连。于是四棱锥P-ABCD被分割成了5个棱锥O-PAB、O-PBC、O-PCD、O-PDA、O-ABCD。
将内切球球心O与四棱锥P-ABCD各个面上的切点分别相连，就是这5个棱锥的高（相应以四棱锥P-ABCD的各个面为底），长度均为r。
V(四棱锥P-ABCD)=V(三棱锥O-PAB) V(三棱锥O-PBC) V(三棱锥O-PCD) V(三棱锥O-PDA) V(四棱锥O-ABCD)
=⅓S(△PAB)·r ⅓S(△PBC)·r ⅓S(△PCD)·r ⅓S(△PDA)·r ⅓S(□ABCD)·r
=⅓[S(△PAB) S(△PBC) S(△PCD) S(△PDA) S(□ABCD)]·r
S(△PAB) S(△PBC) S(△PCD) S(△PDA) S(四边形ABCD)就是四棱锥P-ABCD的表面积，假如该表面积用S表示，四棱锥P-ABCD的体积用V表示，上式就变为：
V=⅓S·r
于是建立了棱锥体积、表面积、内切球半径3个量之间的关系。
如果把内切球半径写在式子左边，公式就是：r=3V/S。
这个公式不需要特别去背，掌握上面推导的原理自然就写出来了。
从三角形内切圆到棱锥的内切球，从二维到三维，从S=½C·r到V=⅓S·r，其实公式形式一致，就是各个量对应作了升维。数学之美，是不是妙不可言？
最后留一道习题，来做一下，看看方法会用了吗？
