今天我们通过分数除法的例子来体验，在教学环节的细节的层次如何使用概念地图理解型学习，如何多问为什么，如何关注大图景（典型问题、典型思维方式、典型计算分析方法、典型应用的例子），如何运用WHWM（是什么、怎么构建、为什么这样构建、为什么说这个、对读者意味着什么）。
分数除法的计算步骤是比较容易学会的，例如
也就是把后面的当做除数的分数分子分母倒过来，然后按照乘法计算，计算的过程中需要注意分子分母消掉相同的因子（分子分母同除以某个数）的技巧。
但是，这样的教学，对于为什么分数相除要这样计算是不明白的。当然，教材也注意到了这个问题。因此，大多数教材是从两个方面来解决这个问题的：分数除法的意义和问题背景，分数除法的计算。这个思路没有丝毫问题，我们也从这两个方面来解决这个问题。
我们先来从分数除法计算的角度看。我写下来每一个步骤和这个步骤的理由，
或者更一般地，
可以看到，这样的计算的道理要想得明白的话，需要学生之前就明白“分数线可以看做除法”、“整数乘除法的结合律”、“整数乘除法的交换律”、“整数乘除法的退括号”。其中，“分数线可以看做除法”和“除法去括号”最最重要，并且“除法去括号”可能需要复习或者额外补充一下。不过，原则上，这个应该是在学习整数除法的时候就已经通过理解型学习解决的事情。
在这里，我想强调的事情是“每一个思考的步骤，都需要给出来明确的理由”。学数学，要学会这个。当然，这仅仅是形式上学会如何计算，尽管已经比前面教纯粹计算方式的要好，但是还是不够的。
我们在来看，分数除法的意义怎么教。
-
首先，我们需要构造一个意义场景，而且和之前已经学习过的东西比较接近的意义场景。例如，我们考虑先从一个切成 4 块取走其中 1 块，剩下的蛋糕如果再有 3 个人平均分会得到多少蛋糕，这样的问题。从那里面，我们可以复习一下分数除以整数，
-
接着，我们可以再铺垫一个类似于分数除以什么什么分之一的例子。例如，我们考虑先从一个切成 4 块取走其中 1 块，剩下的蛋糕给孩子们吃，可以喂饱几个小孩？如果我们假设8个孩子吃一个蛋糕就可以吃饱的话。于是，从假设我们先知道，每个小孩的肚子能够装这么多蛋糕，
-
。
-
目前剩下的蛋糕呢，有
-
块。那怎么分呢？很简单，动手切一下，就知道了，可以分成6个1/8的大小，也就是给6个孩子吃饱。从除法的意义也知道了，这个6相当于是下面的除法的答案（一个总量给每一个人分，已知每一个人需要多少，能够分几个人的问题，是除法。至于这个为什么，学习除法的时候应该已经解决了的：除法来自于减法的简便运算，就好像乘法是加法的简便运算。），
-
这个时候，看具体情况，可以把计算过程和意义先尝试联系一下，也就是，如果用前面学到的计算过程，来验证一下的话，这个来自于“动手切分”的等式对不对。
-
这个时候，再把场景进一步变得复杂一点，假设孩子们成了“高中的大肚王”，每个人需要吃三片那样的小片蛋糕才能饱，问这个时候可以喂饱几个人？于是，提示一下学生们，就有可能可以注意到，是把现在的三个孩子当做一个。那么，就有了如下的计算
-
注意，这里我们用了除法。那么，整体来看，这个得数可以看做什么问题的答案呢？
-
总结，我们看到了关键的几步：第一，当分数除以整数的时候，就把整数放在最后的分母上就可以；第二，当分数除以分数，但是那个分数是什么什么分之一的之后，相当于把那个什么什么乘在分子上；第三，当分数除以一般的分数的时候，相当于在计算完了前一步什么什么分之一之后，再来计算一个除法。在这个过程中，我们都是用思考或者动手切分来得到答案的，而不是前面教过的计算过程。
-
因为大肚王的饭量是3/8。
最后，结合纯粹计算的教学（再次提醒，里面也有数学思想，每一个推理的步骤都要明确写下来）和意义的教学（主要体现，数学是思考和表达的语言，数学解决实际问题），来验证这个计算过程的结果和步骤，完全就是总结里面提到的结果和步骤。换句话说，也就是要思考每一步算出来的东西是什么，为什么需要这样来算，为什么能够这样来算，这几个问题。具体的数字都是可以变的，但基于是什么得到的参与计算的东西之间的关系也就是为什么能够这样算，是普适的（变式教学）。
顺便，如果你仔细看我这个设计，主要的思想是：教学要反映数学是什么，遇到有多个因素的问题需要把各个因素分离开来来讨论，最后再合起来，也就是分解和合成，或者说解构和建构。
阅读理解题：问这里的数学是什么到底是什么，作者是如何通过具体的例子来反映的，这里的因素是什么，作者是如何拆分和合成的，作者这样做你觉得是为什么，你同意吗，对你自己的思考和教学有意义吗？接着，我为什么要出这几个思考题，我是按照什么原则（我多次提到的）来出这几个问题的？
这个例子展示了，在教学环节的细节的层次如何使用概念地图理解型学习，如何多问为什么，如何关注大图景（典型问题、典型思维方式、典型计算分析方法、典型应用的例子），如何运用WHWM（是什么、怎么构建、为什么这样构建、为什么说这个、对读者意味着什么）。其他的例子还有在“吴金闪的工作和思考”博客站点上的帖子"小数加法的计算的例子"。
有的老师做了实验。其中，有老师提出来，说没有必要讲分数和分数的除法，完全可以讲整数除以分数，例如
只要讲清楚这个，由于放在前面的分数就不用有任何变化，推广到分数很简单。这是很有道理的。而且，确实使得理解分数除法更简单了。很不错的想法。
有另外的老师说，可以先把两个分数通分（变成相同的分母），然后再同时去掉这个分母。这个第一不是理解型学习：更关注怎么算，而不是为什么这样算。第二，这个认知难度非常大：通分需要用到最小公倍数，可是不容易；分子分母同时去掉某个因子值不变更是不容易。第三，完全没有必要啊，通什么分。
有老师帮我在学生中做了调查，发现，好多学生直接用了“分数除法计算要变成乘法，然后后面的分数需要换成倒数”，并且在提醒需要思考为什么可以这样计算的时候，给出来的理由关注的点往往是“倒数就是把分子分母颠倒啊”这样的。这说明，学生真的很多时候不关注为什么这样算，而是怎么算。当然，也有遇到了好的学生，能给出为什么这样算的思考。
,
