一元二次方程有求根公式，一般的一元三次方程、一元四次方程等高次方程是否也有类似的求根公式？
1535年，意大利数学家塔塔利亚最早给出了三次方程的一般解法，不久费立里又解决了四次方程，解法发表在《大术》中。
方程的可解性，就是这些方程的解可通过方程的系数，经过加、减、乘、除、乘方及开方等运算得出，这种根的表示称为根式解或代数解。
随着三次、四次方程陆续解出，人们把目光落在五次方程的求根公式上，然而近300年的探索一无所获.阿贝尔证明了一般五次方程不存在求根公式，解决了这个世纪难题。
阿贝尔（1802-1829），挪威数学家阿贝尔被视为挪威民族英雄，挪威皇宫内有一尊他的雕像，这是一个大无畏的青年形象，他的脚下踩着两个怪物——分别代表五次方程和椭圆函数。
历史不会忘记这位杰出的数学家，为了纪念阿贝尔诞辰200周年，挪威政府于2002年创立了一项数学奖—阿贝尔奖。
其中（2）、（3）体现了"降次"代换的思想，（4）则是构造倒数关系，作等值代换。
有些复杂的方程却有简单的根的表达式；有些表面是方程的问题，却需要从式变形的角度去思考。
正如清末著名学者王国维在《人间词话》中说："诗人对宇宙人生，须入乎其内，又须出乎其外，入乎其内，故能写之；出乎其外，故能观之.入乎其内，故有生气；出乎其外，故有高致。"
例2．在前面的学习中，我们通过对同一面积的不同表达和比较，根据图1和图2发现并验证了平方差公式和完全平方公式．
这种利用面积关系解决问题的方法，使抽象的数量关系因几何直观而形象化．
【研究速算】
提出问题：47×43，56×54，79×71，…是一些十位数字相同，且个位数字之和是10的两个两位数相乘的算式，是否可以找到一种速算方法？
几何建模：
用矩形的面积表示两个正数的乘积，以47×43为例：
（1）画长为47，宽为43的矩形，如图3，将这个47×43的矩形从右边切下长40，宽3的一条，拼接到原矩形上面．
（2）分析：原矩形面积可以有两种不同的表达方式：47×43的矩形面积或（40 7 3）×40的矩形与右上角3×7的矩形面积之和，即47×43＝（40 10）×40 3×7＝5×4×100 3×7＝2021．
用文字表述47×43的速算方法是：十位数字4加1的和与4相乘，再乘以100，加上个位数字3与7的积，构成运算结果．
归纳提炼：
两个十位数字相同，并且个位数字之和是10的两位数相乘的速算方法是（用文字表述） ．
【研究方程】
提出问题：怎样图解一元二次方程x² 2x﹣35＝0（x＞0）？
几何建模：
（1）变形：x（x 2）＝35．
（2）画四个长为x 2，宽为x的矩形，构造图4
归纳提炼：求关于x的一元二次方程x（x b）＝c（x＞0，b＞0，c＞0）的解．
要求参照上述研究方法，画出示意图，并写出几何建模步骤（用钢笔或圆珠笔画图，并注明相关线段的长）
【研究不等关系】
提出问题：怎样运用矩形面积表示（y 3）（y 2）与2y 5的大小关系（其中y＞0）？
几何建模：
（1）画长y 3，宽y 2的矩形，按图5方式分割
（2）变形：2y 5＝（y 3） （y 2）
（3）分析：图5中大矩形的面积可以表示为（y 3）（y 2）；阴影部分面积可以表示为（y 3）×1，画点部分的面积可表示为y 2，由图形的部分与整体的关系可知（y 3）（y 2）＞（y 3） （y 2），即（y 3）（y 2）＞2y 5
归纳提炼：
当a＞2，b＞2时，表示ab与a b的大小关系．
根据题意，设a＝2 m，b＝2 n（m＞0，n＞0），要求参照上述研究方法，画出示意图，并写出几何建模步骤（用钢笔或圆珠笔画图并注明相关线段的长）
【分析】【研究速算】十位数字加1的和与十位数字相乘，再乘以100，加上两个个位数字的积，构成运算结果；
【研究方程】画四个长为x b，宽为x的矩形，构造答图1，则图中的大正方形面积有两种不同的表达方式，由此建立方程求解即可；
【研究不等关系】画长为2 m，宽为2 n的矩形，并按答图2方式分割．图中大矩形面积可表示为（2 m）（2 n），阴影部分面积可表示为2 m与2 n的和．由图形的部分与整体的关系可知，（2 m）（2 n）＞（2 m） （2 n），即ab＞a b．
【解答】：【研究速算】
归纳提炼：
十位数字加1的和与十位数字相乘，再乘以100，加上两个个位数字的积，构成运算结果．
【研究方程】
归纳提炼：
【研究不等关系】
归纳提炼：
（1）画长为2 m，宽为2 n的矩形，并按答图2方式分割．
（2）变形：a b＝（2 m） （2 n）
（3）分析：图中大矩形面积可表示为（2 m）（2 n），阴影部分面积可表示为（2 m）×1与（2 n）×1的和．由图形的部分与整体的关系可知，（2 m）（2 n）＞（2 m） （2 n），即ab＞a b．
【点评】本题考查了数形结合的数学思想，利用数形结合思想建立了代数（速算、方程与不等式等）与几何图形之间的内在联系，体现了数学的魅力，是一道好题．试题立意新颖，构思巧妙，对于学生的学习大有裨益；不足之处在于题干篇幅过长，学生读题并理解题意需要花费不少的时间，影响答题的信心．
变式1．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝a，AC＝b．以点B为圆心，BC的长为半径画弧，交线段AB于点D，以点A为圆心，AD长为半径画弧，交
变式2．《代数学》中记载，形如x2 10x＝39的方程，求正数解的几何方法是："如图1，先构造一个面积为x²的正方形，再以正方形的边长为一边向外构造四个面积为5/2x的矩形，得到大正方形的面积为39 25＝64，则该方程的正数解为8﹣5＝3．"小聪按此方法解关于x的方程x² 6x m＝0时，构造出如图2所示的图形，已知阴影部分的面积为36，则该方程的正数解为（ ）
A．6 B．3√5﹣3 C．3√5﹣2 D．3√5﹣3/2
【解析】根据已知的数学模型，同理可得空白小正方形的边长为3/2，先计算出大正方形的面积＝阴影部分的面积 4个小正方形的面积，可得大正方形的边长，从而得结论．
配方法、因式分解法、公式法是解一元二次方程的常用方法，有些一元二次方程可以通过图解法来解，形象而直观。
几何直观主要是指利用图形描述来分析问题，是在直观感知的基础上所形成的理性思考的结果，是学习者对数学对象的几何属性的整体把握和有效判断的能力。
在解决数学问题时，我们经常要回到基本定义与基本方法思考.试利用方程的解的定义及解方程组的基本方法解决以下问题：
解题方法是数学的灵魂，一个有价值的问题的解决常经历以下心路历程：冥思苦想、茅塞顿开、悠然心会、心境澄明.
正如王国维在《人间词话》中所说："古今之成大事业、大学问者，必经过三种之境界：
'昨夜西风凋碧树，独上高楼，望尽天涯路。'此第一境也；
'衣带渐宽终不悔，为伊消得人憔悴.'此第二境也；
'众里寻他千百度，蓦然回首，那人却在灯火阑珊处。'此第三境也."
问题的解决不也如同上述情境吗？假若你在学习数学的过程中也常历经这样的心境，那么你一定能理解好数学，掌握好数学。
故 最大值为6，故答案为：6．
2．已知矩形ABCD的长和宽分别是n和1，其中n是正整数，若存在另一个矩形A′B′C′D′，它的周长和面积分别是矩形ABCD周长和面积的一半，则满足条件的n的最小值是______．
【解析】：设矩形A′B′C′D′的长和宽分别为x、y，
|x₁| |x₂|＝3 4＝7＝2×3.5．
∵3.5不是整数，∴x² x﹣12＝0不是"偶系二次方程；
（2）存在．理由如下：
∵x²﹣6x﹣27＝0和x² 6x﹣27＝0是偶系二次方程，∴假设c＝mb² n，
当b＝﹣6，c＝﹣27时，﹣27＝36m n．
