1. ⑴等差、等比数列：
⑵看数列是不是等差数列有以下三种方法：
⑶看数列是不是等比数列有以下四种方法：
注①：i.=√ac，是a、b、c成等比的双非条件，即b=√(ac)→a、b、c等比数列.
ii. b=√(ac)（ac＞0）→为a、b、c等比数列的充分不必要.
iii. b=±√(ac)→为a、b、c等比数列的必要不充分.
iv. b=±√(ac)且ac>0→为a、b、c等比数列的充要.
注意：任意两数a、c不一定有等比中项，除非有ac＞0，则等比中项一定有两个.
③an=cqⁿ(c、q为非零常数).
④正数列{an}成等比的充要条件是数列{
}（x>1）成等比数列.
⑷数列{an}的前n项和sn与通项an的关系：
[注]： ①
可为零也可不为零→为等差数列充要条件（即常数列也是等差数列）→若d不为0，则是等差数列充分条件）.
②等差{an}前n项和
→
可以为零也可不为零→为等差的充要条件→若d为零，则是等差数列的充分条件；若
d不为零，则是等差数列的充分条件.
③非零常数列既可为等比数列，也可为等差数列.（不是非零，即不可能有等比数列）
2. ①等差数列依次每k项的和仍成等差数列，其公差为原公差的k2倍
②若等差数列的项数为
，则
③若等差数列的项数为
.
3. 常用公式：①1 2 3 … n =n(n 1)/2
②1² 2² 3² ...... n²=n(n 1)(2n 1)/6
③1³ 2³ 3³.... n³=[n(n 1)/2]²
[注]：熟悉常用通项：9，99，999，…=>an=10ⁿ-1； 5，55，555，…=>an=5/9(10ⁿ-1).
4. 等比数列的前n项和公式的常见应用题：
⑴生产部门中有增长率的总产量问题. 例如，第一年产量为α，年增长率为γ，则每年的产量成等比数列，公比为1 γ. 其中第n年产量为a(1 γ)的N-1次方，，且过n年后总产量为：
⑵银行部门中按复利计算问题. 例如：一年中每月初到银行存α元，利息为γ，每月利息按复利计算，则每月的α元过n个月后便成为α（1 γ）ⁿ元. 因此，第二年年初可存款：
⑶分期付款应用题：α为分期付款方式贷款为a元；m为m个月将款全部付清；γ为年利率.
5. 数列常见的几种形式：
⑴
（p、q为二阶常数）→用特征根方法求解.
具体步骤：①写出特征方程x²=Px q（x²对应
，x对应
），并设二根
②若
可设
，若
可设
；③由初始值
确定
.
⑵
（P、r为常数）
用①转化等差，等比数列；②逐项选代；③消去常数n转化为
的形式，再用特征根方法求
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；④
（公式法），
由
确定.
①转化等差，等比：
②选代法：
.
③用特征方程求解：
④由选代法推导结果：
.
6. 几种常见的数列的思想方法：
⑴等差数列的前n项和为Sn，在d<0时，有最大值. 如何确定使Sn取最大值时的n值，有两种方法：
一是求使
，成立的n值；二是由
利用二次函数的性质求n的值.
⑵如果数列可以看作是一个等差数列与一个等比数列的对应项乘积，求此数列前n项和可依照等比数列前n项和的推倒导方法：错位相减求和. 例如：
⑶两个等差数列的相同项亦组成一个新的等差数列，此等差数列的首项就是原两个数列的第一个相同项，公差是两个数列公差d1、d2的最小公倍数.
2. 判断和证明数列是等差（等比）数列常有三种方法：(1)定义法:对于n≥2的任意自然数,验证
为同一常数。(2)通项公式法。(3)中项公式法:验证
都成立。
3. 在等差数列｛
｝中,有关Sn 的最值问题：(1)当a1>0,d<0时，满足
的项数m使得
取最大值. (2)当a1<0,d>0时，满足
的项数m使得
取最小值。在解答绝对值的数列最值问题时,注意转化思想的应用。
数列求和的常用方法
1. 公式法:适用于等差、等比数列或可转化为等差、等比数列的数列。
2.裂项相消法:适用于
其中{
}是各项不为0的等差数列，c为常数；部分无理数列、含阶乘的数列等。
3.错位相减法:适用于
其中{
}是等差数列，
是各项不为0的等比数列。
4.倒序相加法: 类似于等差数列前n项和公式的推导方法.
5.常用结论
1）: 1 2 3 ... n = n(n 1)/2
2） 1 3 5 ... (2n-1) =n²
3）1³ 2 ³3³ ..... n³=[1/2n(n 1)]²
4） 1² 2² 3² .... n²=(1/6)n(n 1)(2n 1)
5） 1/n(n 1)=(1/n)-1/(n 1) 1/n(n 2)=1/2(1/n-1/(n 2)
6） 1/pq=1/(q-p)(1/p-1/q)(p>q)
「链接」
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